伴随矩阵的性质

编号2009011118毕业论文（设计）（2013届本科）论文题目：伴随矩阵的性质学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：09级本科1班作者姓名：魏瑞继指导教师：俱鹏岳职称：副教授完成日期：2013年4月20日2目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明..................................3摘要....................................................................4关键词..................................................................40引言..................................................................41主要结论..............................................................41.1伴随矩阵的基本性质...............................................41.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质.................................81.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质.......................................91.4两伴随矩阵间的关系性质..........................................102应用举例.............................................................11例1................................................................11例2................................................................11结束语.................................................................12参考文献...............................................................12致谢...................................................................133陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者签名：二〇一二年十二月二十日4伴随矩阵的性质魏瑞继（陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳745000）摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例.关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵0引言伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广.定义1[1]设矩阵()ijnnAa,将矩阵A的元素ija所在的第i行第j列元素划去后，剩余的2(1)n个元素按原来的排列顺序组成的1n阶矩阵所确定的行列式称为元素ija的余子式，记为ijM，称(1)ijijM为元素ija的代数余子式，记为ijA，即ijA=(1)ijijM(i,j=1,2,……,n).定义2[2]方阵()ijnnAa的各元素的代数余子式ijA所构成的如下矩阵A=112111222212nnnnnnAAAAAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵.1主要结论1.1伴随矩阵的基本性质性质1若A是n阶方阵(2)n,那么5()rA=(A)1(A)10(A)1nrnrnrn.证明（1））设()rAn,设()rAn,则0A，AAAE0由()rAn知A为可逆矩阵，从而推得0A，即A为零矩阵.于是A也为零矩阵，与()rAn矛盾，所以()rAn;(2)）如果()1rA,则A中至少有一个元素ijA≠0，即A中至少有一个1n阶子式不为0，故()1rAn.而r(A)=1n，所以()1rAn;(3)）如果()0rA,即A为零矩阵，而A中元素均为A中的1n阶代数余子式，从而A中的所有1n阶子式全为0，所以()1rAn;性质2[4]若矩阵A为非奇异阵，k为常数（k≠0），则1()nkAkA.证明由A=1AA及111()kAAk可得111()()nkAkAkAkAAk=111nnkAAkA.性质3（1）无论A是奇异阵还是非奇异阵，等式1nAA(2n)成立[5];（2）设A为n阶方阵，则2()nAAA[6].证明（1）当A是奇异阵时，0A，因为A=1AA0为零阵.所以10AAA，从而等式1nAA(2n)成立.当A是非奇异阵时，0A，由AAAE得nAAAEA.所以1nAA（2n）.（2）当A≠0时，()A=111()()nAAAA=121()nnAAAAA.当A=0时，知()1rAn，若()1rAn，则()11rAn.由性质1知r(()A)=0,从而()A=0=2nAA6若()1rAn，则r(A)=0，即A=0故()A=0=2nAA.性质4设A，B为n阶方阵，则()ABBA.证明（1）当0A，B≠0时，由A=1AA可得()AB=11111()ABABABBABBAABA.（2）当0A，B=0时，令()AxxEA，()BxxEB只要x充分大，()Ax，()Bx都可逆，所以(()())(())(())AxBxBxAx上式两端矩阵中的元素都是关于x的多项式，由于两端对应元素相等，所以对应元素是相等的多项式，即上式对任意的x都成立.特别的取x=0，即得()ABBA.推论设12,,,sAAA均为n阶方阵，则1221()ssAAAAAA.性质5设A，B均为n阶可逆矩阵，则有220(1)AB0A0(1)A0nnBB.证明因为-1-10A0B0A0B=-1-1AA00BB=00nnEE=2nE所以0A0B可逆，且-10A0B=-1-10BA0.又有220A0=(1)=(1)A00AnnBBB由-1A=AA可得0A0B=-10A0A00BB=2-1-10B(1)AA0nB=22-1-10(1)AB(1)AA0nnBB=220(1)AB(1)A0nnB.推论设A，B，C均为n阶可逆矩阵，则有722200(1)AC00A000(1)ACB000(1)CA00nnnBBCB.性质6[4]若A为n阶方阵，则()()TTAA.证明(1)当A为非奇异矩阵时，有A≠0，TA=A≠0，10nAA即TA，A也为非奇异阵.由A=1AA可得11()()()TTTAAAAA又11(A)=A(A)=A(A)TTTT因为11A(A)=AA=TTTTEE（）所以1(A)T=1AT（）即(A)T=AT（）.(2)当A为奇异阵时，设A=111212122212nnnnnnaaaaaaaaa，则TA的第i行第j列元素为ija，()TA的第i行第j列元素为ijA，A的第i行第j列元素为jiA，()TA的第i行第j列元素为ijA(i,j=1,2,……,n)，所以()TA=()TA.性质7(1)设A是n阶非奇异阵，则111()()AAAA;(2)设A是n阶非奇异阵，则111()()TTTAAAA.证明(1)由A=1AA得1111111()()()AAAAAAA又11111()()AAAAA所以11()()AA=1AA.8(2)由性质6得11()()TTAA由(1)得11()()TTAA.又因为11()()TTTTAAAAEE,所以11()()TTAA11()()TTAA即1-1()()TTAA又11111111()()()()TTTTTAAAAAAA所以111()()TTTAAAA.1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质性质8若A是可逆矩阵，是其特征值，是A的属于特征值的特征向量，则A的特征值为A，是A的属于特征值A的特征向量.证明因为A是可逆矩阵，所以≠0，在A两边左乘A得AAA即AAA.又AAAE，所以AEA即1AAAE.所以A为A的特征值，是A的属于特征值A的特征向量.性质9设A是不可逆矩阵，若是A的非零特征值，是A的属于的特征向量，则是A的属于特征值0的特征向量.证明由条件可知A(≠0)，两边左乘A得AAA即AEA.由于A=0，≠0，所以0A即是A的属于特征值0的特征向量.推论设A是不可逆矩阵，若是A的非零特征值，是A的属于的特征向量，则9是A的属于特征值0的特征向量.1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质性质10[7](1)若A是n阶对称矩阵，那么A也是n阶对称矩阵；(2)若A是n阶反对称矩阵，那么当n是偶数时，A也是n阶反对称矩阵；当n是奇数时，A是n阶对称矩阵.证明(1)因为A是n阶对称矩阵，所以TA=A.又()()TTAAA，所以A是n阶对称矩阵.(2)因为A是n阶反对称矩阵，所以TA=A.又1()()()(1)TTnAAAA当n是偶数时，有1(1)nAA，所以A也是n阶反对称矩阵；当n是奇数时，有1(1)nAA，即()TAA，所以A是n阶对称矩阵.性质11[8]若A是n阶正定矩阵，则A也是n阶正定矩阵.证明若A正定，则A为对称矩阵，由性质10知A也为对称矩阵.其次可得A的所有特征值均大于0，由性质8知A的所有特征值也大于0，即A为正定矩阵.性质12[9]若A是正交矩阵，则A也是正交矩阵.证明设A是正交矩阵，则有TTAAAAE又A()TA=1()()TTAAAAEEEE所以A也是正交矩阵.性质13若A是上(下)三角矩阵，则A也是上(下)三角矩阵.证明设A=()ija是上三角矩阵，则当ij时，有ija=0.当ij时，ija的余子式ijM为n-1阶的三角行列式，且主对角线上的元素至少有一个为零，所以ijM=0(ij)，即有ijA=0(ij).10故A也为上三角矩阵.同理可证，若A是下三角矩阵，则A也为下三角矩阵.推论当A是对角矩