(全)概率论与数理统计答案(东华大学出版)

1第二章离散型随机变量及其分布律第二节一维离散型随机变量及其分布律习题Page551、一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用表示所得球上的数字，求的分布律。解答：因为只能取-3、1、2，且分别有2、3、1个，所以的分布律为：-312{}iPx2/63/61/62、在200个元件中有30个次品，从中任意抽取10个进行检查，用表示其中的次品数，问的分布律是什么？解答：由于200个元件中有30个次品，只任意抽取10个检查，因此10个元件中的次品数可能为0、1、2到10个。当次品数为k时，即有k个次品时，则有10-k个正品。所以：的分布律为：103017010200{},0,1,,10kkCCPkkC。3、一个盒子中有m个白球，nm个黑球，不放回地连续随机地从中摸球，直到取到黑球才停止。设此时取到的白球数为，求的分布律。解答：因为只要取到黑球就停止，而白球数只有m个，因此在取到黑球之前，所取到的白球数只可能为0m中的任意一个自然数。设在取到黑球时取到的白球数等于k，则第1k次取到是黑球，以iA表示第i次取到的是白球；_iA表示第i次取到的是黑球。则的分布律为：__12112111{}()()(|)(|)11,0,1,,11kkkkPkPAAAAPAPAAPAAAmmmknmkmnnnknk。4、汽车沿街道行驶，要通过3个有红绿灯的路口，信号灯出现什么信号相互独立，且红绿灯显示时间相等。以表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数，求的分布律。解答：因为只有3个路口，因此只可能取0、1、2、3，其中{3}表示没有碰到红灯。以iA表示第i个路口是红灯，因红绿灯显示时间相等，所以()1/2iPA，又因信号灯出现2什么信号相互独立，所以123,,AAA相互独立。因此的分布律为：_11{0}()2PPA，__12121{1}()()()4PPAAPAPA，{2}P____1231231()()()()8PAAAPAPAPA，______123123{3}()()()()1/8PPAAAPAPAPA。5、一实习生用同一台机器制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率为1,(1,2,3)1ipii。用表示3个零件合格品的个数，求的分布律。解答：因为利用同一台机器制造3个同种零件，因此可认为这3个零件是否合格是相互独立的，以iA表示第i个零件是合格的，则()1/(1)iPAi。因表示零件的合格数，因此的分布律为：______1231231111{0}()()()()(1)(1)(1)2344PPAAAPAPAPA，______12312312311{1}()()()24PPAAAPAAAPAAA，___1231231236{2}()()()24PPAAAPAAAPAAA，1231{3}()24PPAAA。6、设随机变量的分布律为{},0,1,2,!kPkckk，式中为大于0的常数。试确定常数c的值。解答：因{},0,1,2,!kPkckk如果是随机变量的分布律，则应该满足如下两个条件：1、对任意的k，{}0Pk，因此可得0c；2、01{}kPk0!kkckce，所以可得ce。7、设在每一次试验中，事件A发生的概率为0.3，当A发生次数不少于3时，指示灯发出信号。（1）若进行5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）若进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率。解答：因为进行的是独立试验，所以如进行n次试验，则事件A在n次试验中发生的次数服从参数为n和()0.3pPA的二项分布。因为当A在n次试验中发生次数不少于3时，3指示灯发出信号。因此，{}{3}PP发出信号3{}nkPk30.30.7nkknknkC。第一小题中的n等于5，第二小题中的n等于7。计算即可。8、某交换台有50门分机，各分机是否呼叫外线相互独立，在单位时间内呼叫外线的概率都是10%，问在单位时间内至少有3门以上的分机需要外线的概率是多少？解答：同上一题，因为各分机是否呼叫外线相互独立，因此在单位时间里呼叫外线的分机束缚从参数为50和0.1的二项分布。所以所求的概率等于{3}1{0}PP{1}P{2}P504948250*4910.950*0.9*0.10.90.12。9、把一个试验独立重复地做n次，设在每次试验中事件A出现的概率为p，求在这n次试验中A至少出现一次的概率是多少。解答：同上一题，n次试验中A出现的次数服从参数为n和p的二项分布。因此，所要求的概率等于{1}1{0}1(1)nPPp。10、甲乙两选手轮流射击，直到有一个命中为止，若甲命中率为0.6，乙命中率为0.7，如果甲首先射击，求：（1）两人射击总次数的分布律；（2）甲射击次数1的分布律；（3）乙射击次数2的分布律。解答：因为轮流射击，直到有一个命中为止，且由甲首先射击。因此可以看到，如果由甲射中，则总的射击次数应为奇数，乙比甲少射一次，而由乙射中的话，则甲、乙两人射击次数相同。且可以知道，乙可能没有射击。而由题意可知，每次是否射中是相互独立的。令iA表示甲第i次射击时射中，则()0.6iPA（1,2,i）；令iB表示乙第i次射击时射中，则()0.7(1,2,)iPBi。由此可知：（1）______111111{21}()()()()kkkkkPkPABABAPAPBPA0.12*0.6k，0,1,k_____111111{2}()()()()kkkkPkPABABPAPBPB10.12*0.28k，1,2,k（2）________1111111111{}()()()()()kkkkkkPkPABABPABBAPAPBPB+__111111()()()0.88*0.12,1,2,kkkPAPBPAk4（3）________1211111111{}()()()()()kkkkkkPkPABABPABBAPAPBPB__1111()()()0.352*0.12,1,2kkkPAPBPAk21{0}()0.6PPA。11、一电话交换机每分钟收到的呼叫数服从4的泊松分布。求（1）一分钟内恰好有8次呼叫的概率；（2）一分钟内呼叫数大于9次的概率。解答：因每分钟受到的呼叫数(4)，因此844{8}8!Pe，而{9}1{9}PP=4104!iiei=0.008132。（查表得到）12、某路口有大量车辆通过，设每辆车在高峰时间（9点—10点）出事故的概率为0.001，设某天的高峰时间有500辆车通过，问出事故的车数不少于2的概率（利用泊松定理来计算）。解答：可以认为每辆车是否出事故是相互独立。则该天高峰时间车事故的车数(500,0.001)B，因500n较大，而0.001p较小，因此可利用泊松定理近似计算，则令500*0.001，即近似认为(0.5)。即{2}1{1}PP0.520.5!kiek，查表可得等于0.090204。13、设车间内每月耗用某种零件的数量服从参数为3的泊松分布。问月初要备该种零件多少个才能以0.999的概率保证当月的需要量？解答：因每月耗用零件的数量(3)，要保证当月的需要量，则要求当月的耗用量小于等于月初所备的零件数x，也就是1303{}10.999!ixiPxei，查表可得10x。14、设服从泊松分布，且{1}{2}PP，求{4}P。解答：因()，即12{1}{2}1!2!PePe，由此可得2，所以442{4}4!Pe。15、设服从参数为的泊松分布，即{},0,1,2,!kPkekk，求使得{}Pk达到极大值的k，并证明你的结论。5解答：因1{1}/(){}(1)!!kkPkeePkkk1k,因此如果1k，则{1}{}PkPk，而若1k，则{1}{}PkPk。所以，若存在正整数l使得1ll，则{}Pl取得最大；而若存在正整数l，则{1}Pl与{}Pl同时达到最大。16、设随机变量(2,),(3,)BpBp，若{1}5/9P，求{1}P。解答：因(2,),(3,)BpBp，所以25{1}1{0}1(1)9PPp，由此可得13p。所以3119{1}1{0}1(1)327PP。17、设有10个同类元件，其中有2只次品。装配仪器时从中任取1只，如果是次品则扔掉重新任取一只。如再是次品，继续扔掉再任取一只。试求在取到正品前已取出的次品数的分布？解答：因其中只有2只次品，所以取到正品前已取出的次品数只可能取0、1、2，因此的分布律为828218{0},{1},{2}101091098PPP。6第三节二维离散型随机变量及其分布律习题Page621、设二维随机变量(,)可能取的值为(0,0),(1,1),(1,1/3),(2,0),(2,1/3)，相应的概率为1/6,1/3,1/12,1/4,1/6。（1）列表表示其联合分布律；（2）分别求出和的边缘分布律；（3）分别求在0和1/3条件下的条件分布律；（4）求{11}P。解答：由题意可得二维随机变量(,)的联合分布律及和的边缘分布律为：{}jPy-102001/61/45/121/31/1201/61/411/3001/3{}iPx5/121/65/121（3）条件概率的定义得：0(1|0)05/12P，1/6(0|0)5/12P25，1/43(2|0)5/125P；11/121(1|)31/43P，1(0|)03P，11/62(2|)31/43P。（4）1{11}(1,0){1,}{1,1}3PPPP1(0,0){0,}{0,1}3PPP712。2、在一个盒子中放6只球，上面分别标有号码1、1、2、2、2、3，不放回地随机摸2只球，用和分别表示第一个与第二个球的号码。（1）求(,)的联合分布律；（2）求在2条件下的条件分布律；（3）问与是否独立？为什么？（4）把摸球从不放回改成放回抽样，问此时与是否独立？7解答：（1）(,)的联合分布律为：12312/306/302/3026/306/30（注）3/3032/303/300注：326{2,2}{2}{2|2}6530PPP。（2）{2}{1,2}{2,3}{3,2}PPPP1530，因此，在2条件下的条件分布律为：i123{|2}Pi2/52/5（注）1/5注：{2,2}6/302{2|2}{2}15/305PPP。（3）因为21010{1,1}{1}{1}303030PPP，所以与并不独立。（4）当从不放回改成放回抽样时，因第二次摸到什么球与第一次毫无关系，因此由题意即可得知这两个随机变量是相互独立的。3、用和分别表示某地区一天内新生婴儿的人数和其中的男孩人数，设和的联合分布律为147.146.86{,},0,1,2,,0,1,,!()!mnmPnmenmnmnm。（1）试求