高中数学选修2-2主要内容

第一章导数及其应用1.1变化率与导数问题中的变化率可用式子1212)()(xxxfxf表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率若设12xxx,)()(12xfxff(这里x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x代替x2,同样)()(12xfxfyf)则平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212在前面我们解决的问题：1、求函数2)(xxf在点（2，4）处的切线斜率。xxxfxfxy4)()2(，故斜率为42、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是12tV，求ott时的瞬时速度。ttttvttvtVooo2)()(，故斜率为4二、知识点讲解上述两个函数)(xf和)(tV中，当x(t)无限趋近于0时，tV(xV)都无限趋近于一个常数。归纳：一般的，定义在区间（a，b）上的函数)(xf，)(baxo，，当x无限趋近于0时，xxfxxfxyoo)()(无限趋近于一个固定的常数A，则称)(xf在oxx处可导，并称A为)(xf在oxx处的导数，记作)('oxf或oxxxf|)('，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:0000()()limlimxxfxxfxfxx我们称它为函数()yfx在0xx出的导数，记作'0()fx或0'|xxy，即0000()()()limxfxxfxfxx说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率（2）0xxx，当0x时，0xx，所以0000()()()limxfxfxfxxx当点nP沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线nPP趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点00(,())xfx处的切线的斜率，即0000()()()limxfxxfxfxkx说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②求出函数在点0x处的变化率0000()()()limxfxxfxfxkx，得到曲线在点00(,())xfx的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,0()fx是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：()fx或y，即:0()()()limxfxxfxfxyx。函数()fx在点0x处的导数0()fx、导函数()fx、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数0()fx，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数3）函数()fx在点0x处的导数'0()fx就是导函数()fx在0xx处的函数值，这也是求函数在点0x处的导数的方法之一。1．函数()yfxc的导数根据导数定义，因为()()0yfxxfxccxxx所以00limlim00xxyyx函数导数yc0y0y表示函数yc图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若yc表示路程关于时间的函数，则0y可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．2．函数()yfxx的导数因为()()1yfxxfxxxxxxx所以00limlim11xxyyx函数导数yx1y1y表示函数yx图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若yx表示路程关于时间的函数，则1y可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()yfxx的导数因为22()()()yfxxfxxxxxxx2222()2xxxxxxxx所以00limlim(2)2xxyyxxxx函数导数2yx2yx2yx表示函数2yx图像（图3.2-3）上点(,)xy处的切线的斜率都为2x，说明随着x的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x时，随着x的增加，函数2yx减少得越来越慢；当0x时，随着x的增加，函数2yx增加得越来越快．若2yx表示路程关于时间的函数，则2yx可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x．4．函数1()yfxx的导数因为11()()yfxxfxxxxxxx2()1()xxxxxxxxxx所以220011limlim()xxyyxxxxx（2）推广：若*()()nyfxxnQ，则1()nfxnx1.2导数的计算导数的运算法则导数运算法则1．'''()()()()fxgxfxgx2．'''()()()()()()fxgxfxgxfxgx3．'''2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx函数导数yc'0y*()()nyfxxnQ'1nynxsinyx'cosyxcosyx'sinyx()xyfxa'ln(0)xyaaa()xyfxe'xye()logafxx()lnfxx'1()fxx复合函数的概念一般地，对于两个函数()yfu和()ugx，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数()yfu和()ugx的复合函数，记作()yfgx。复合函数的导数复合函数()yfgx的导数和函数()yfu和()ugx的导数间的关系为xuxyyu，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．若()yfgx，则()()()yfgxfgxgx1．3导数在研究函数中的应用在某个区间(,)ab内，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递增；如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内单调递减．特别的，如果'()0fx，那么函数()yfx在这个区间内是常函数．求解函数()yfx单调区间的步骤：（1）确定函数()yfx的定义域；（2）求导数''()yfx；（3）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为减区间．一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．一般地，在闭区间ba,上函数()yfx的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()yfx在ba,上必有最大值与最小值．“最值”与“极值”的区别和联系⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个奎屯王新敞新疆⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(xf的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．一般地，求函数)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(xf在(,)ab内的极值；⑵将)(xf的各极值与端点处的函数值)(af、)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(xf在ba,上的最值奎屯王新敞新疆1.4生活中的优化问题举例解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．1.5定积分的概念回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）定积分的概念一般地，设函数()fx在区间[,]ab上连续，用分点0121iinaxxxxxxb-==LL将区间[,]ab等分成n个小区间，每个小区间长度为xD（baxn-D=），在每个小区间[]1,iixx-上任取一点()1,2,,iinx=L，作和式：11()()nnniiiibaSfxfnxx==-=D=邋如果xD无限接近于0（亦即n??）时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数()fx在区间[,]ab上的定积分。记为：()baSfxdx=ò，其中-ò积分号，b－积分上限，a－积分下限，()fx－被积函数，x－积分变量，[,]ab－积分区间，()fxdx－被积式。说明：（1）定积分()bafxdxò是一个常数，即nS无限趋近的常数S（n??时）记为()bafxdxò，而不是nS．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间[],ab；②近似代替：取点[]1,iiixxx-Î；③求和：1()niibafnx=-å；④取极限：()1()limnbinaibafxdxfnx=-=åò（3）曲边图形面积：()baSfxdx=ò；变速运动路程21()ttSvtdt=ò；变力做功()baWFrdr=ò定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],ab上函数()fx连续且恒有()0fx³，那么定积分()bafxdxò表示由直线,(),0xaxbaby==?和曲线()yfx=所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()bafxdxò的几何意义。说明：一般情况下，定积分()bafxdxò的几何意义是介于x轴、函数()fx的图形以及直线,xaxb==之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号。分析：一般的，设被积函数()yfx=，若()yfx=在[,]ab上可取负值。考察和式()()()12()infxxfxxfxxfxxD+D++D++DLL不妨设1(),(),,()0iinfxfxfx+L于是和式即为()()()121(){[()][]}iinfxxfxxfxxfxxfxx-D+D++D--D++-DLL()bafxdx\=ò阴影A的面积—阴影B的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积）思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？3．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1()bakdxkba=-ò；性质2()()()bbaakfxdxkfxdxk=蝌为常数（定积分的线性性质）；性质31212[()()]()()bbbaaafxfxdxfxdxfxdx??蝌?（定积分的线性性质）；性质4()()()()bcbaacfxdxfxdxfxdxacb=+蝌?其中（定积分对积分区间的可加性）(1)()()baabfxdxfxdx=-蝌；(2)()0aafxdx=ò；说明：①推广：1212[()()()]()()()bbbbmmaaaafxfxfxdxfxdxfxdxfx北?北?蝌蝌LL②推广:121()()()()kbccbaaccfxdxfxdxfxdxfxdx=+++蝌蝌L③性质解释：PCNMBAabOyxy=1yxOba性质1性质4AMNBAMPCCPNBSSS=+曲边梯形曲边梯形曲边梯形第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理●把从个别事实中推演出一般性结论的推