圆锥曲线经典性质总结及证明

圆锥曲线的经典结论一、椭圆1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.（椭圆的光学性质）2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线）3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义）4.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.（求导）5.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.（结合4）6.椭圆22221xyab(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.（余弦定理+面积公式+半角公式）7.椭圆22221xyab（a＞b＞0）的焦半径公式：10||MFaex,20||MFaex(1(,0)Fc,2(,0)Fc00(,)Mxy).（第二定义）8.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF9.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.MN其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第8条，证毕10.AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。（点差法）11.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab.（点差法）12.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab.（点差法）二、双曲线1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.（同上）2.PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（同上）3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.（同上）4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）（同上）5.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221xxyyab.（同上）6.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.（同上）7.双曲线22221xyab（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点12FPF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2FPFSbco.（同上）8.双曲线22221xyab（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(1(,0)Fc,2(,0)Fc当00(,)Mxy在右支上时，10||MFexa,20||MFexa.当00(,)Mxy在左支上时，10||MFexa,20||MFexa（同上）9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.（同上）10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.（同上）11.AB是双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。（同上）12.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab.（同上）13.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab.（同上）椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）椭圆1.椭圆22221xyab（a＞b＞o）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.证明2.过椭圆22221xyab(a＞0,b＞0)上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且2020BCbxkay（常数）.证明3.若P为椭圆22221xyab（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,12PFF,21PFF，则tant22accoac.证法1（代数）证法二（几何）4.设椭圆22221xyab（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记12FPF,12PFF,12FFP，则有sinsinsincea.（上条已证）5.若椭圆22221xyab（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤21时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6.P为椭圆22221xyab（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2112||||||2||aAFPAPFaAF,当且仅当2,,AFP三点共线时，等号成立.7.椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()AaBbAxByC.8.已知椭圆22221xyab（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）22221111||||OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224abab;（3）OPQS的最小值是2222abab.证明9.过椭圆22221xyab（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则||||2PFeMN.证明（图片有误，ep=b^2/a）10.已知椭圆22221xyab（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点0(,0)Px,则22220ababxaa.11.设P点是椭圆22221xyab（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPF，则(1)2122||||1cosbPFPF.(2)122tan2PFFSb.12.设A、B是椭圆22221xyab（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|||sabPAacco.(2)2tantan1e.(3)22222cotPABabSba.13.已知椭圆22221xyab（a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.证明14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.（之前有类似的）15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（角分线定理+合比公式）（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.（角分线定理）18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.（角分线定理）双曲线1.双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.（同上）2.过双曲线22221xyab（a＞0,b＞o）上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且2020BCbxkay（常数）.（同上）3.若P为双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,12PFF,21PFF，则tant22cacoca（或tant22cacoca）.（同上）4.设双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记12FPF,12PFF,12FFP，则有sin(sinsin)cea.（同上）5.若双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤21时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6.P为双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则21||2||||AFaPAPF,当且仅当2,,AFP三点共线且P和2,AF在y轴同侧时，等号成立.7.双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222AaBbC.8.已知双曲线22221xyab（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.（1）22221111||||OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224abba;（3）OPQS的最小值是2222abba.（同上）9.过双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则||||2PFeMN.（同上）10.已知双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点0(,0)Px,则220abxa或220abxa.11.设P点是双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPF，则(1)2122||||1cosbPFPF.(2)122cot2PFFSb.（同上）12.设A、B是双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos||||s|abPAacco.(2)2tantan1e.(3)22222cotPABabSba.13.已知双曲线22221xyab（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.（同上）14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.（同上）15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（同上）(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).（同上）16.