高考数学一轮复习第3章第6节正弦定理与余弦定理三角形中的几何计算课件文北师大版

第3章三角函数、解三角形第六节正弦定理与余弦定理、三角形中的几何计算[考纲传真]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．栏目导航课堂题型全突破真题自主验效果课前知识全通关010203课前知识全通关1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式asinA＝bsinB＝csinC＝2R.(R为△ABC外接圆半径)a2＝；b2＝；c2＝公式变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2RcosA＝；cosB＝；cosC＝b2＋c2－2bc·cosAc2＋a2－2ca·cosBa2＋b2－2ab·cosCb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab答案2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解答案3.三角形常用面积公式(1)S＝12a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝12absinC＝＝；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．12acsinB12bcsinA[常用结论]1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A＋B2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(2)sinA＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.3．在△ABC中，sinA＞sinB⇔A＞B⇔a＞b，cosA＞cosB⇔A＜B⇔a＜b.4．三角形射影定理a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝acosB＋bcosA．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，若A＞B，则必有sinA＞sinB．()(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．()(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝45°或135°．()(4)在△ABC中，asinA＝a＋b－csinA＋sinB－sinC．()解析答案[解析](1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB．(2)错误．由cosA＝b2＋c2－a22bc＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．(3)错误．由b＜a知，B＜A．(4)正确．利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可知结论正确．[答案](1)√(2)×(3)×(4)√解析答案2．(教材改编)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定C[由正弦定理，得a2R＝sinA，b2R＝sinB，c2R＝sinC，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＜0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]解析答案3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝2，cosA＝23，则b＝()A．2B．3C．2D．3D[由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×23，解得b＝3或b＝－13(舍去)，故选D．]解析答案4．在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a等于()A．32B．62C．26D．36B[由正弦定理得asinA＝csinC，所以a＝csinAsinC＝6×sin45°sin30°＝62.]解析答案5．(教材改编)在非钝角△ABC中，2bsinA＝3a，则角B为()A．π6B．π4C．π3D．π2C[由2bsinA＝3a得2sinBsinA＝3sinA．∴sinB＝32，又B是锐角或直角．∴B＝π3.]课堂题型全突破利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cosC2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．42B．30C．29D．25(2)(2019·青岛模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A等于()A．3π4B．π3C．π4D．π6解析答案(1)A(2)C[(1)因为cosC2＝55，所以cosC＝2cos2C2－1＝2×552－1＝－35.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝52＋12－2×5×1×－35＝32，所以AB＝42.故选A．(2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA．又a2＝2b2(1－sinA)，所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又A是三角形内角，则A＝π4，故选C．][规律方法]应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a＝bsinAsinB，b＝asinBsinA，c＝asinCsinA或其他相应变形公式求解．(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA＝asinBb，sinB＝bsinAa，sinC＝csinAa或其他相应变形公式求解．(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．(1)(2019·郑州模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sinB＋sinC)＝(a－3c)sinA，则角B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sinB＝________，c＝________.解析答案(1)A(2)2173[(1)由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC及(b－c)·(sinB＋sinC)＝(a－3c)sinA得(b－c)(b＋c)＝(a－3c)a，即b2－c2＝a2－3ac，∴a2＋c2－b2＝3ac.又∵cosB＝a2＋c2－b22ac，∴cosB＝32，∴B＝30°.(2)因为a＝7，b＝2，A＝60°，所以由正弦定理得sinB＝bsinAa＝2×327＝217.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA可得c2－2c－3＝0，所以c＝3.]与三角形面积有关的问题【例2】(1)(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．解析答案233[由bsinC＋csinB＝4asinBsinC得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，因为sinBsinC≠0，所以sinA＝12.因为b2＋c2－a2＝8，cosA＝b2＋c2－a22bc，所以bc＝833，所以S△ABC＝12bcsinA＝12×833×12＝233.](2)(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2B2.①求cosB；②若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.解析答案[解]①由题设及A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2B2，故sinB＝4(1－cosB)．上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝1(舍去)，或cosB＝1517.故cosB＝1517.②)由cosB＝1517得sinB＝817，故S△ABC＝12acsinB＝417ac.又S△ABC＝2，则ac＝172.由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2×172×1＋1517＝4.所以b＝2.[规律方法]三角形面积公式的应用方法：(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．解析答案(1)(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A．π2B．π3C．π4D．π6C[因为S△ABC＝12absinC，所以a2＋b2－c24＝12absinC．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，得2abcosC＝2absinC，即cosC＝sinC，所以在△ABC中，C＝π4.故选C．](2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acosB．①证明：A＝2B；②若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．解析答案[解]①证明：由b＋c＝2acosB得sinB＋sinC＝2sinAcosB．即2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB；所以sin(A－B)＝sinB．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＋(A－B)＝π或A－B＝B，所以A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B．②由S＝a24得12absinC＝a24，则sinBsinC＝12sinA＝12sin2B＝sinBcosB．由sinB≠0得sinC＝cosB．又B，C∈(0，π)，所以C＝π2±B．当B＋C＝π2时，A＝π2，当C－B＝π2时，A＝π4，综上知A＝π2或A＝π4.正余弦定理的简单应用►考法1判断三角形的形状【例3】(1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，满足acosA＝bcosB，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形(2)(2019·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sinB·sinC＝sin2A，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析答案(1)D(2)C[(1)因为acosA＝bcosB，由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D．(2)由b2＋c2＝a2＋bc得cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.∵A∈(0，π)，∴A＝π3.由sinB·sinC＝sin2A得bc＝a2，代入b2＋c2＝a2＋bc得(b－c)2＝0，即b＝c，从而△ABC是等边三角形，故选C．]►考法2求解几何计算问题【例4】(2019·哈尔滨模拟)如图，在△ABC中，B＝π3，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝17.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．解析答案[解](1)在△ADC中，∵cos∠ADC＝17，∴sin∠ADC＝1－cos2∠ADC＝1－172＝437，则sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADC·cosB－cos∠ADC·sinB＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝AB·sin∠BADsin∠ADB＝8×3314437＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋CB2－2AB·BCcosB＝82＋52－2×8×5×12＝49，即AC＝7.►考法3正、余弦定理与三角函数的交汇问题【例5】(2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinA＝acosB－π6(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解析答案[解](1)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝acosB－π6，得asinB＝acosB－π6，即sinB＝cosB－π6，可得tanB＝3.又因为B∈(0，π)，可得B＝π3.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c