第5章机器人控制技术微分变换

2019年8月2日1第五章微分变换ChapterⅤDifferentialRelationships5.1引言5.2微分矩阵5.3微分平移和旋转变换5.4微分旋转5.5坐标系之间的微分变换5.6机械手的微分变换方程——雅可比方程5.7雅可比逆矩阵5.8本章小结2019年8月2日25.1引言（Introduction）微分变换在机器人视觉、动力学和机器人控制（如力控、刚度控制、阻抗控制、顺应控制等）中十分重要。例如当摄像机或其它传感装置检测到机器人末端执行器的位置和方向的微小变化时，需要将该微小变化从摄像机或其它传感装置坐标转换到基坐标或参考坐标系。在机器人刚度控制中，需要获得在控制坐标系中力与位置的微分变换。又如将直角坐标的微分变换转化为关节坐标的微分变换，还有在下一章介绍的机器人动力学问题时，也会用到微分变换。本章将介绍微分变换的基本原理和方法，包括微分平移、微分旋转、坐标系之间的微分变换、雅可比矩阵和逆雅可比矩阵及其应用。2019年8月2日35.2微分矩阵（DerivativeMatrixes）给出一个4×4的矩阵A（5.1）矩阵A的微分就是对矩阵A中的每一个元素对自变量x的微分，结果如下（5.2）44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaAdxxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxadA444342413433323124232221141312112019年8月2日45.3微分平移和旋转变换(DifferentialTranslationandRotation)微分平移和旋转变换可以是针对基坐标或参考坐标系，也可以是针对某个指定的坐标系进行。例如对于一个变换矩阵T，它对基坐标的微分变换可表示为（5.3）式中是在基坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；和绕基坐标的向量k旋转dθ角。由此可得到（5.4）如果上述微分变换不是针对基坐标而是针对坐标系T，那么微分变换的结果可表示为（5.5）此时，式中是在T坐标的x，y，z轴向上分别平移dx，dy，dz；是绕T坐标的向量k旋转dθ角。由此可得到（5.6）TdkRotdzdydxTransdTT),(),,(TIdkRotdzdydxTransdT)),(),,((),(),,(dkRotdzdydxTransTdTT)),(),,((IdkRotdzdydxTransTdT),,(dzdydxTrans),(dkRot2019年8月2日5我们用符号来表示式（5.4）和式（5.6）中的并将它称为微分变换算子（5.6）这样式（5.4）和式（5.6）就可写成如下形式（5.7）和（5.8）式（5.7）中的微分变换算子是针对基坐标的，而式（5.8）中的微分变换算子则是针对T坐标的。在第二章我们给出了平移和一般性旋转变换的齐次变换矩阵表达式，平移变换矩阵是100a010bTrans(a,b,c)=001c（5.9）0001)),(),,((IdkRotdzdydxTransIdkRotdzdydxTrans),(),,(TdTTTdTT2019年8月2日6当平移向量是微分向量d＝dxi+dyj+dzk时，微分平移矩阵为100dx010dyTrans(d)=001dz（5.10）0001一般性旋转变换的变换矩阵是kxkxversθ+cosθkykxversθ-kzsinθkzkxversθ+kysinθ0kxkyversθ+kzsinθkykyversθ+cosθkzkyversθ-kxsinθ0Rot(k,θ)=kxkzversθ-kysinθkykzversθ+kxsinθkzkzversθ+cosθ0(5.11)0001当进行微分旋转变换时，旋转角dθ极小，此时有如下关系dsinlim01coslim00lim0vers2019年8月2日7将上述关系代入式（5.11）可得1-kzdθkydθ0kzdθ1-kxdθ0Rot(k,dθ)=-kydθkxdθ10(5.12)0001由式（5.6）可得(5.13)100001000010000110000101011000100010001dkdkdkdkdkdkdddxyxzyzzyx0000000zxyyxzxyzddkdkddkdkddkdk2019年8月2日85.4微分旋转(DifferentialRotations)式（5.13）给出的微分变换算子是基于微分旋转角dθ的微分平移和旋转变换表达式，下面讨论绕坐标轴x、y、z旋转δx、δy、δz的微分变换。第二章给出的绕坐标轴x、y、z旋转的变换矩阵分别为（5.14）（5.15）（5.16）10000cossin00sincos00001),(xRot10000cos0sin00100sin0cos),(yRot1000000000cossin00sincos),(zRot2019年8月2日9在微分变换的情况下，sinθ→dθ，conθ→1，上面三个式子变为（5.17）（5.18）（5.19）由此可得到（5.20）10000100100001),(xxxxRot10000100010001),(yyyyRot100100(,)00100001zzRotzz1000000000),(),(),(xyxzyzzyxzRotyRotxRot2019年8月2日10比较式（5.12）和式（5.20）可知，绕任意向量k旋转dθ的微分旋转与绕x、y、z轴分别旋转的结果相同，即（5.21）由此可得到绕坐标轴x、y、z旋转δx、δy、δz的微分变换算子为（5.22）微分变换算子中的元素由微分平移向量d和微分旋转向量δ的各个分量组成，即（5.23）（5.24）将上述二个向量组合构成一个微分运动矢量D（5.25）这样，我们就可根据式（5.25）给出的微分运动矢量D直接得到微分变换算子，或基于T坐标的微分运动矢量的微分变换算子。zy、、xdkxxdkyydkzz1000000zxyyxzxyzdddkdjdiddzyxkjizyxTzyxzyxdddD),(TTTdDT2019年8月2日11【例5.1】已知坐标A的变换矩阵为当用微分平移矢量d=1i+0j+0.5k和微分旋转矢量δ＝0i+0.1j+0k对坐标A进行变换时，求出微分变换的结果dA。解：首先，由式（5.22）求出微分变换算子由式（5.7）可得即10000010500110100AAdA00005.01.0000000101.001000001050011010000005.0001.0000011.000dA微分变换结果如图5.1所示。xyzzAyA+dAx图5.1坐标A的微分变换2019年8月2日125.5坐标系之间的微分变换(TransformingDifferentialChangesbetweenCoordinateFrames)上节讨论了基于基坐标或某个指定坐标的微分变换，本节继续讨论坐标系之间的微分变换，也就是已知微分变换算子，如何求出T坐标的微分变换算子。由式（5.7）和（5.8）可知（5.26）则为（5.27）上式是一个重要的表达式，它描述了坐标系之间的微分变换关系。下面我们用微分平移矢量d和微分旋转矢量来推导的表达式。已知变换矩阵T为TTTTTT1T1000zzzzyyyyxxxxpaonpaonpaonT2019年8月2日13我们用矢量的叉乘来得到式（5.27）等号右边二项的乘积（5.29）式中d和分别是微分平移和微分旋转矢量。用左乘式（5.29）可得（5.30）上式矩阵元素都具有如下矢量三重积形式根据矢量三重积的性质有（5.31）0000zzzzyyyyxxxxdpaondpaondpaonT00001dpaaaoanadpoaooonodpnanonnnTT1Tcbaacbcabcba2019年8月2日14同时，三重积中只要有二个矢量是相同的，其结果为零。如（5.32）根据上述性质，式（5.30）可写成（5.33）对于正交矢量有（5.34）这样，式（5.33）可重写成（5.35）0caa0000000adapaonaodopaoonndnpnaonTaononanao0000000adapnoodopnandnpoaT2019年8月2日15上式可进一步简化为（5.36）比较式（5.35）和式（5.36）的矩阵元素可得（5.37）（5.38）在式（5.37）和式（5.38）中，n、o、a和p是微分坐标变换矩阵T的旋转和平移矢量，和是对应坐标T的微分平移和旋转矢量。0000000zTxTyTyTxTzTxTyTzTTdddndnpdxTodopdyTadapdzTnxToyTazTdTT2019年8月2日16式（5.37）和式（5.38）也可用6×6的矩阵形式表示如下（5.39）将上式写成式（5.36）和式（5.37）的形式如下（5.40）（5.41）式（5.40）和式（5.41）是后续内容中要经常用到的重要结果。zyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzTyTxTzTyTxTdddaaaooonnnapapapaaaopopopooonpnpnpnnnddd000000000dpndxTdpodyTdpadzTnxToyTazT2019年8月2日17【例5.2】给出与例5.1相同的坐标的变换矩阵、微分平移矢量和微分旋转矢量如下：d=1i+0j+0.5kδ＝0i+0.1j+0k试求出坐标A上的等效微分变换dA。解：由坐标变换矩阵A可得到相应的旋转与平移矢量由此可求出根据式（5.40）和式（5.41）得到10000010500110100Akjin010kjio100kjia001kjip0510kji