中考数学经典压轴题及分类讨论思想

精选中考压轴题（包含分类讨论）2、（上海卷）已知点P在线段AB上，点O在线段AB延长线上．以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点．（1）如图，如果2APPB，PBBO．求证：CAOBCO△∽△；（2）如果APm（m是常数，且1m），1BP，OP是OA，OB的比例中项．当点C在圆O上运动时，求:ACBC的值（结果用含m的式子表示）；（3）在（2）的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围．[解]（1）证明：2APPBPBBOPO，2AOPO．2AOPOPOBO．POCO，AOCOCOBO．COABOC∠∠，CAOBCO△∽△．（2）解：设OPx，则1OBx，OAxm，OP是OA，OB的比例中项，21xxxm，得1mxm，即1mOPm．11OBm．OP是OA，OB的比例中项，即OAOPOPOB，OPOC，OAOCOCOB．设圆O与线段AB的延长线相交于点Q，当点C与点P，点Q不重合时，AOCCOB∠∠，CAOBCO△∽△．ACOCBCOB．ACOCOPmBCOBOB；当点C与点P或点Q重合时，可得ACmBC，当点C在圆O上运动时，:ACBCm；（3）解：由（2）得，ACBC，且11ACBCmBCm，1ACBCmBC，圆B和圆C的圆心距dBC，显然1BCmBC，圆B和圆C的位置关系只可能相交、内切或内含．当圆B与圆C相交时，11mBCBCmBC，得02m，1m，12m；CAPBO当圆B与圆C内切时，1mBCBC，得2m；当圆B与圆C内含时，1BCmBC，得2m．[点评]今年的上海市数学压轴题难度与去年相差不大，是比较传统的压轴题，应该说比较容易上手，考查的知识点较多，综合性较强，第2小题考到了方程思想，第3小题又运用到了分类讨论思想，在解决这种题时应在比较牢固掌握基础知识的同时培养自己运用各种数学思想方法的能力，本题是一道好题，符合上海市二期课改的理念。7、（广东广州课改卷）已知抛物线222(0)yxmxmm．（1）求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）过点(0)Pn，作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B（点A在点P的左边），是否存在实数mn，，使得2APPB？若存在，则求出mn，满足的条件；若不存在，请说明理由．[解]（1）证法1：22229224myxmxmxm，当0m时，抛物线顶点的纵坐标为2904m，顶点总在x轴的下方．而该抛物线的开口向上，该抛物线与x轴有两个不同的交点．（或者，当0m时，抛物线与y轴的交点2(02)m，在x轴下方，而该抛物线的开口向上，该抛物线与x轴有两个不同的交点．）证法2：22241(2)9mmm，当0m时，290m，该抛物线与x轴有两个不同的交点．（2）存在实数mn，，使得2APPB．设点B的坐标为()tn，，由2APPB知，①当点B在点P的右边时，0t，点A的坐标为(2)tn，，且2tt，是关于x的方程222xmxmn的两个实数根．2224(2)940mmnmn，即294nm．A238xyPO且(2)ttm（I），2(2)ttmn（II）由（I）得，tm，即0m．将tm代入（II）得，0n．当0m且0n时，有2APPB．②当点B在点P的左边时，0t，点A的坐标为(2)tn，，且2tt，是关于x的方程222xmxmn的两个实数根．2224(2)940mmnmn，即294nm．且2ttm（I），222ttmn（II）由（I）得，3mt，即0m．将3mt代入（II）得，2209nm且满足294nm．当0m且2209nm时，有2APPB．[点评]本题是一道以二次函数为背景的压轴题，是一道区分度较好的试题，其第1小题只需学生熟悉二次函数的基本性质即可得证，不算难，第2小题则有一定的能力要求，较易漏解，这往往是缺乏数形结合思想所致，解这类题时不要急着下笔，要做到能够领会命题者的意图，做到胸有成竹方可下笔。9、（广西贵港课改卷）如图，已知直线l的函数表达式为483yx，且l与x轴，y轴分别交于AB，两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点QP，移动的时间为t秒．（1）求出点AB，的坐标；（2）当t为何值时，APQ△与AOB△相似？（3）求出（2）中当APQ△与AOB△相似时，线段PQ所在直线的函数表达式．[解]（1）由483yx，令0x，得8y；令0y，得6x．AB，∴的坐标分别是(60)(08)，，，．（2）由8BO，6AO，得10AB．当移动的时间为t时，APt，102AQt．ABxyPOOPAQByxlQAPBAO∵，∴当PAQAOABA时APQAOB△∽△102610tt∴，3011t∴（秒）．QAPBAO∵，∴当PAAQABAO时，AQPAOB△∽△，102106tt∴．5013t∴（秒）．3011t∴秒或5013秒，经检验，它们都符合题意，此时AQP△与AOB△相似．（3）当3011t秒时，PQOB∥，PQOA⊥，3011PA，3611OP∴，36011P，∴．∴线段PQ所在直线的函数表达式为3611x．当5013t时，5013PA，10013BQ，2813OP，28013P，∴．设Q点的坐标为()xy，，则有xBQOABA，10013610x∴6013x∴．当6013x时，46024831313y，Q∴的坐标为60241313，．设PQ的表达式为ykxb，则2801360241313kbkb，342113kb∴，PQ∴的表达式为321413yx．[点评]这是一道以一次函数为背景的动态几何问题，这类压轴题向来是中考的热点问题，第2小题要求学生动中求静，将动态问题转化为静态的几何问题，再运用相似的有关知识解决问题，同时要注意分类讨论。13、（河南卷）二次函数218yx的图象如图所示，过y轴上一点02M，的直线与抛物线交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D．（1）当点A的横坐标为2时，求点B的坐标；（2）在（1）的情况下，分别过点A，B作AEx⊥轴于E，BFx⊥轴于F，在EF上是否存在点P，使APB∠为直角．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点A在抛物线上运动时（点A与点O不重合），求ACBD的值．[解]（1）根据题意，设点B的坐标为218xx，，其中0x．点A的横坐标为2，122A，．ACy⊥轴，BDy⊥轴，02M，，ACBD∥，32MC，2128MDx．RtRtBDMACM△∽△．BDMDACMC．即2128322xx．解得12x（舍去），28x．88B，．（2）存在．连结AP，BP．由（1），12AE，8BF，10EF．设EPa，则10PFa．AEx⊥轴，BFx⊥轴，90APB∠，AEPPFB△∽△．AEEPPFBF．yDBMACOx12108aa．解得521a．经检验521a均为原方程的解．点P的坐标为3210，或3210，．（3）根据题意，设218Amm，，218Bnn，，不妨设0m，0n．由（1）知BDMDACMC，则22128128nnmm或22128128nnmm．化简，得160mnmn．0mn≠，16mn．16ACBD．[点评]此题是一道以二次函数为蓝图的综合题，涉及面较广，第1小题较常规，第2小题是结论存在性问题，第3小题有一定的难度，需学生熟练地综合运用代数几何知识进行求解。15、（湖北黄冈卷）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点AB，的坐标分别为(40)(43)，，，，动点MN，分别从点OB，同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NPBC，交AC于点P，连结MP，当两动点运动了t秒时．（1）P点的坐标为（，）（用含t的代数式表示）．（2）记MPA△的面积为S，求S与t的函数关系式(04)t．（3）当t秒时，S有最大值，最大值是．（4）若点Q在y轴上，当S有最大值且QAN△为等腰三角形时，求直线AQ的解析式．[解]（1）344tt，．（2）在MPA△中，4MAt，MA边上的高为34t，13(4)24MPASStt△．即233(04)82Sttt．OM(40)A，xyCNP(43)B，（3）322，．（4）由（3）知，当S有最大值时，2t，此时N在BC的中点处，如下图．设(0)Qy，，则222224AQOAOQy，222222(3)QNCNCQy，2222232ANABBN.QAN△为等腰三角形，①若AQAN，则2222432y，此时方程无解．②若AQQN，即222242(3)yy，解得12y．③若QNAN，即22222(3)32y，解得1206yy，．11(0)2Q，-，2(00)Q，，3(06)Q，．当Q为1(0)2，时，设直线AQ的解析式为12ykx，将(40)A，代入得114028kk，．直线AQ的解析式为1182yx．当Q为(00)，时，(40)A，，(00)Q，均在x轴上，直线AQ的解析式为0y（或直线为x轴）．当Q为(06)，时，QNA，，在同一直线上，ANQ△不存在，舍去．故直线AQ的解析式为1182yx，或0y．[点评]今年的黄冈市数学压轴题非常经典，有一定的难度，试题的图形看似比较平凡，好像没有什么创意，但仔细读题，你会发现本题的4个小问都问得很好，尤其是第4小问，这4个小题环环相扣，一气呵成，此题着重考查了函数最值、等腰三角形等知识，同时又是一个动态问题、又要进行分类讨论，可见命题者之用心良苦。16、（湖北咸宁卷）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，53OAOC，．（1）在AB边上取一点D，将纸片沿OD翻折，使点A落在BC边上的点E处，求点D，E的坐标；yCOMPN(43)B，(40)A，xQ（2）若过点DE，的抛物线与x轴相交于点(50)F，，求抛物线的解析式和对称轴方程；（3）若（2）中的抛物线与y轴交于点H，在抛物线上是否存在点P，使PFH△的内心在坐标轴．．．上？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．（4）若（2）中的抛物线与y轴相交于点H，点Q在线段OD上移动，作直线HQ，当点Q移动到什么位置时，OD，两点到直线HQ的距离之和最大？请直接写出此时点Q的坐标及直线HQ的解析式．[解]解法一：（1）依题意，5OEOA，在RtOCE△中，2222225344CEOEOCCE，．9090OEDOADCEOBED∠∠，∠∠．而90CEOCOECOEBED∠∠，∠∠，RtRtCEOBDE△∽△．BDCEBECO，4543BD，4453333BDADABBD，，点DE，的坐标分别为55433，，，．解法二：（上同解法一）4CE．设点D的坐标为5y，，则3541ADDEyBDyBE，，．在RtBED△中，2