复合求积公式-上机实践报告

1/6中国矿业大学（北京）理学院数值分析实验报告实验名称不动点迭代法求方程的近似根实验时间5月8日组长签名龙纯鹏班级信息与计算科学（1）班学号11107200110成绩组员签名1110720010111107200102111072001031110720011911107200120一、实验目的,内容二、相关背景知识介绍三、代码四、数值结果五、计算结果的分析六、计算中出现的问题，解决方法及体会一、实验目的、内容实验目的：取不同的步长h，分别用复合梯形及复合辛普森求积公式计算积分，通过这个实验清楚地认识到在同样的等分份数下，复合辛普森公式的近似程度明显优于复合梯形公式。内容：分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算下列积分(1)3021dxxx，等分数n自己取定；并与准确值比较精度并估计误差；(2)102dxex，等分数n自己取定。二、相关背景知识介绍（1）算法原理或计算公式:设将区间[a,b]划分为n等份，步长bahn,选取等距节点kxakh构造出的插值型求积公式()0()()nnnkkkIbaCfx，称为牛顿—柯特斯公式。由于牛顿—柯特斯公式在n8时具有不稳定性，故不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了提高精度通常可把积分区间分成若干个子区间，再在子区间上用低阶求积公式。当n=1时，就是我们熟悉的梯形公式()()()2babafxdxfafb，在每个子区间1,kkxx(k=0,1,```,n-1)采用梯形公式，则得2/6111100()()()()()2kknnbxkknaxkkhIfxdxfxdxfxfxRf即复合梯形公式为11101()()()()()22nnnkkkkkhhTfxfxfafxfb当n=2时，就是辛普森公式如下：()4()()62baabSfaffb在每个子区间上采用辛普森公式就得：1111/2100()()()4()()()6kknnbxkkknaxkkhIfxdxfxdxfxfxfxRf即复合辛普森公式为1111/211/2001()4()())()4()2()()66nnnnkkkkkkkkhhSfxfxfxfafxfxfb.三、代码（Matlab）symsxf=x*sqar(1+x^2)int(f,0,pi*2)-2*picleara=0;b=1;n=100;h=(b-a)/n;t=0;fork=1:1:n-1;x(k)=a+k*h;t=t+g(x(k));endt=h/2*(g(a)+g(b)+2*t);t=0.74683/6cleara=0;b=2*pi;n=100;h=(b-a)/n;t=0;fork=1:1:n-1;x(k*2)=a+k*h;x(k*2+1)=x(k*2)+h/2;t=t+4*p(x(k*2+1))+2*p(x(k*2));endt=h/6*(p(a)+p(b)+t);tt=-6.2832cleara=0;b=2*pi;n=100;h=(b-a)/n;t=0;fork=1:1:n-1;x(k*2)=a+k*h;x(k*2+1)=x(k*2)+h/2;t=t+4*l(x(k*2+1))+2*l(x(k*2));endt=h/6*(l(a)+l(b)+t);t4/6t=0.8444四、步骤及数值结果3021)1(xx-6.2832)2(102xe0.8444五、计算结果的分析利用梯形公式的余项公式，可得复合梯形公式的截断误差为：),(),(12)()(2bafhabTRn,梯形公式的精确度比较低，收敛也比较慢，因此，梯形公x1=a+k*hf1=f1+f(x1)k++kn?YNt1=h/2*(f(a)+2*f1+f(b))r1=fabs(-4.0/9-t1)J=1x2=a+j*(1.0/2)*hJ%2==0?f2=f2+f(x2)f3=f3+f(x2)t2=h/6*(f(a)+4*f3+2*f2+f(b))r2=fabs(-4.0/9-t2)YNj2n?YN输出t1,r1输出t2,r25/6式并不直接用来计算积分，而是为其它的积分法(如龙贝格积分法)提供初始数据，在那里，由梯形公式得出的这些不够准确的近似值，将被一些简单的运算加工后变得非常准确。六、计算中出现的问题，解决方法及体由于在实际计算时，不宜使用高阶的牛顿——柯特斯公式，但若积分区间较大，单独用一个低阶的牛顿——柯特斯公式来计算积分的近似值，显然精度不好，为了提高数值求积的精确度，可利用积分对区间的可加性来解决这个问题，这就是通常采用的复合求积法。所谓复合求积法，其指导思想就是先将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式进行计算，然后把所有子区间的计算结果相加得出新的求积公式，这种公式就叫做复合求积公式。教师评语指导教师：2013年5月8日6/6