高中数学必修5数列知识点总结

数列1.等差数列通项公式：1(1),naandn等差中项：如果2abA，那么A是a与b的等差中项前n项和：11()(1)22nnnaannSnad若na是等差数列，且klmn，则klmnaaaa等差数列的通项求法应该围绕条件结合1,ad，或是利用特殊项。等差数列的最值问题求使0(0)nnaa成立的最大n值即可得nS的最值。例1.na是等差数列，538,6aS，则9a_________解析：513113248,33362aadSadad，解得10,2ad，916a例2.na是等差数列，13110,aSS，则当n为多少时，nS最大？解析：由311SS得1213da，从而21111(1)249()(7)2131313nannSnaana，又10a所以1013a故7n2.等比数列通项公式：11(0)nnaaqq等比中项：2Gab前n项和：111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq若na是等比数列，且mnpq，则mnpqaaaa例.na是由正数组成的等比数列，2431,7aaS，则5S__________解析：由0na，242411aaaq，231117Saaqaq，解得1114,,22aq（舍去）。所以5314S3.求数列的通项利用1nnnaSS，注意n=1时的情况。形如1()(2)nnaafnn时，用累加法求解。形如1()(2)nnafnna时，用累乘法求解。形如1(2)nnaamn时，构造等差数列求解形如1(2)nnaxayn时，构造等比数列求解。例.根据下列条件，求na的通项公式。（1）数列na满足：132nnaan，且12a。（转化后利用累加法）（2）11a，11(2)nnnaann。（利用累乘法）（3）11a，132nnaa。（构造等比数列）解析：（1）因为1323(1)1nnaann，所以131nnaan所以112211(31)()()()2nnnnnnnaaaaaaaa当1n时，12a符合na通项公式。（2）因为11(2)nnnaann，所以122121,12nnnaaaan。11121123nanaannn，1a符合通项公式。（3）因为132nnaa，所以113(1)nnaa，由11a可知10na所以1131nnaa，1na为等比数列，公比3q，11112,123231nnnnaaa4.求前n项和nS公式法分组求和拆项相消常见的拆项公式（1）111(1)1nnnn（2）1111()()nnkknnk（3）1111()(21)(21)22121nnnn（4）111nnnn例.正项数列na，222(1)()0nnSnnSnn求；（1）通项na（2）令221(2)nnnbna，nT为数列nb的前n项和，证明对于任意的n，都有564nT解析：（1）由222(1)()0nnSnnSnn，得2[()](1)0nnSnnS由于na正项数列，0nS，2()nSnn，12nnnaSSn（2）2nan，22221111[]4(2)16(2)nnbnnnn222222221111111111[1][1]16324(2)162(1)(2)nTnnnn2115(1)16264错位相减：适用于一个等差和一个等比数列对应项相乘构成的数列例.数列na满足211233333nnnaaaa求：（1）na的通项（2）设nnnba，求数列nb的前n项和nS解析：由条件知211233333nnnaaaa，所以22123113333nnnaaaa，两式相减得，1133nna(2)n所以1(2)3nnan，n=1，得113a符合。13nna（2）3nnbn，所以23323333nnSn，23413323333nnSn，相减得，12323(3333)nnnSn，即13(13)2313nnnSn所以1(21)3344nnnS倒序相加