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数列1.等差数列通项公式:1(1),naandn等差中项:如果2abA,那么A是a与b的等差中项前n项和:11()(1)22nnnaannSnad若na是等差数列,且klmn,则klmnaaaa等差数列的通项求法应该围绕条件结合1,ad,或是利用特殊项。等差数列的最值问题求使0(0)nnaa成立的最大n值即可得nS的最值。例1.na是等差数列,538,6aS,则9a_________解析:513113248,33362aadSadad,解得10,2ad,916a例2.na是等差数列,13110,aSS,则当n为多少时,nS最大?解析:由311SS得1213da,从而21111(1)249()(7)2131313nannSnaana,又10a所以1013a故7n2.等比数列通项公式:11(0)nnaaqq等比中项:2Gab前n项和:111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq若na是等比数列,且mnpq,则mnpqaaaa例.na是由正数组成的等比数列,2431,7aaS,则5S__________解析:由0na,242411aaaq,231117Saaqaq,解得1114,,22aq(舍去)。所以5314S3.求数列的通项利用1nnnaSS,注意n=1时的情况。形如1()(2)nnaafnn时,用累加法求解。形如1()(2)nnafnna时,用累乘法求解。形如1(2)nnaamn时,构造等差数列求解形如1(2)nnaxayn时,构造等比数列求解。例.根据下列条件,求na的通项公式。(1)数列na满足:132nnaan,且12a。(转化后利用累加法)(2)11a,11(2)nnnaann。(利用累乘法)(3)11a,132nnaa。(构造等比数列)解析:(1)因为1323(1)1nnaann,所以131nnaan所以112211(31)()()()2nnnnnnnaaaaaaaa当1n时,12a符合na通项公式。(2)因为11(2)nnnaann,所以122121,12nnnaaaan。11121123nanaannn,1a符合通项公式。(3)因为132nnaa,所以113(1)nnaa,由11a可知10na所以1131nnaa,1na为等比数列,公比3q,11112,123231nnnnaaa4.求前n项和nS公式法分组求和拆项相消常见的拆项公式(1)111(1)1nnnn(2)1111()()nnkknnk(3)1111()(21)(21)22121nnnn(4)111nnnn例.正项数列na,222(1)()0nnSnnSnn求;(1)通项na(2)令221(2)nnnbna,nT为数列nb的前n项和,证明对于任意的n,都有564nT解析:(1)由222(1)()0nnSnnSnn,得2[()](1)0nnSnnS由于na正项数列,0nS,2()nSnn,12nnnaSSn(2)2nan,22221111[]4(2)16(2)nnbnnnn222222221111111111[1][1]16324(2)162(1)(2)nTnnnn2115(1)16264错位相减:适用于一个等差和一个等比数列对应项相乘构成的数列例.数列na满足211233333nnnaaaa求:(1)na的通项(2)设nnnba,求数列nb的前n项和nS解析:由条件知211233333nnnaaaa,所以22123113333nnnaaaa,两式相减得,1133nna(2)n所以1(2)3nnan,n=1,得113a符合。13nna(2)3nnbn,所以23323333nnSn,23413323333nnSn,相减得,12323(3333)nnnSn,即13(13)2313nnnSn所以1(21)3344nnnS倒序相加
本文标题:高中数学必修5数列知识点总结
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