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第二讲参数方程椭圆的参数方程如下图,以原点O为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径作两个同心圆,设A为大圆上的任意一点,连接OA,与小圆交于点B,过点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时点M轨迹的参数方程.OAMxyNB分析:设M点的坐标为(x,y)点A的横坐标与M点的横坐标相同,点B的纵坐标与M点的纵坐标相同.而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.OAMxyNB解:设∠XOA=φ,则A:(acosφ,asinφ),B:(bcosφ,bsinφ),由此:即为点M轨迹的参数方程.sinbycosax(为参数)消去参数得:,bya12222x即为点M轨迹的普通方程.如下图,以原点O为圆心,分别以a,b(a>b>0)为半径作两个同心圆,设A为大圆上的任意一点,连接OA,与小圆交于点B,过点A作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.1.参数方程是椭圆的参数方程.cosxasinyb2.在椭圆的参数方程中,常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.ab另外称为离心角,规定参数的取值范围是[0,2)cos,sin.xaXyb焦点在轴cos,sin.xbYya焦点在轴(为参数)yaab22221(.0)xbφOAMxyNB归纳比较椭圆的标准方程:12222byax椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:)(sinbycosa为参数xxyO圆的标准方程:圆的参数方程:x2+y2=r2)(sinycos为参数rrxθ的几何意义是∠AOP=θ,是旋转角PAθ椭圆的参数方程:是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.称离心角【练习1】把下列普通方程化为参数方程.22149xy22116yx(1)(2)3cos5sinxy8cos10sinxy(3)(4)把下列参数方程化为普通方程2cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx练习2:已知椭圆的参数方程为(是参数),则此椭圆的长轴长为(),短轴长为(),焦点坐标是(),离心率是()。2cossinxy4232(,0)3例1、如图,在椭圆x2/9+y2/4=1上求一点M,使M到直线l:x+2y-10=0的距离最小.xyOP分析1平移直线l至首次与椭圆相切,切点即为所求.22204936xymxy000,M(,)消元,利用,求出进而求得切点mxyM设(3cos,2sin)是椭圆上任一点.|3cos4sin-10|5d则小结:借助椭圆的参数方程,可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示,利用三角知识加以解决.例1、如图,在椭圆x2/9+y2/4=1上求一点M,使M到直线l:x+2y-10=0的距离最小.分析23cos()2sinxy椭圆参数方程为:为参数34|5cossin-10|555()0|5cos-10|5()00034cos,sin55其中满足05d当=0时,取最小值,0098coscos,2sin2sin55此时3398M(,)2100555Mxy时,点与直线的距离取最小值。例2.已知椭圆,求椭圆内接矩形面积的最大值.22221(0)xyabab解:设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为(cos,sin)ab4cossinSab矩形()24kkZSab矩形当时,最大。所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab.2sin2ab2ab例3:已知A,B两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.22941yx:解由椭圆参数方程,设点P(3cos,2sin)PAB即求点到直线的距离的最大值。,ABCABPS面积一定需求S最大即可132xy直线AB的方程为:22|cossin6|23d6662sin()1413,,d当=时有最大值面积最大.4322P这时点的坐标为(,2)2360xy练习1、动点P(x,y)在曲线上变化,求2x+3y的最大值和最小值14922yx.,2626最小值最大值2、θ取一切实数时,连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)两点的线段的中点轨迹是.A.圆B.椭圆C.直线D.线段B设中点M(x,y)x=2sinθ-2cosθy=3cosθ+3sinθ22y249x3cos,2sin设xy236cos6sinxy62sin()4小结(1)椭圆的参数方程(ab0)12222byax)(sincos为参数byax注意:椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同.(2)椭圆与直线相交问题y22221xabcos(为参数)sinxbya
本文标题:选修4-4椭圆的参数方程
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