函数零点常考题型扫描

函数零点常考题型扫描函数的零点是函数、方程、图像的知识交汇点，它充分体现了函数与方程的关系，且蕴含丰富的数学思想。每年高考都有此类题出现，下面例析一些常考题型，供大家学习与参考。题型一：函数零点的分布例1函数的零点所在的大致区间是（）。A.（1，2）B.（2，5）C.（5，10）D.（10，+∞）解：由，可得f（l）=-90，由函数零点存在性定理，可知函数f（x）的零点所在的大致区间是（5，1O），应选C。评析：函数y=f（x）在[a，b]上连续，且f（a）.f（b）0时，函数也可能有零点。题型二：函数零点与零点个数的判断例2函数，的零点个数为（）。A.2B.3C.7D.0解：由f（x）=0，可得或，解得x=-1或。所以函数f（x）共有2个零点，应选A。评析：对函数零点个数的判断可从以下几个方面考虑：（l）结合函数图像；（2）根据零点存在性定理求某些点的函数值；（3）利用函数的单调性判断函数的零点是否唯一。题型三：根据函数零点的存在情况，求参数的值或范围例3已知函数（l）若函数y=g（x）-m有零点，求实数m的取值范围。（2）确定m的取值范围，使得方程g（x）-f（x）=0有两个相异实根。解：（1）作出函数的大致图像（如图1）。由图像知，若y=g（x）-m有零点，则只需m≥2e。所以实数m的取值范围是[2e，+∞）。（2）若方程g（x）-f（x）=0有两个相异实根，即函数g（x）与f（x）的图像有两个不同的交点。再在图1中作出函数1的大致图像（图略）。因为，所以其图像的对称轴为x=e，开口向下，最大值为可知当，即时，g（x）与f（x）有两个不同交点，即方程g（x）-f（x）=0有两个相异实根。所以m的取值范围是评析：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围。若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造函数，利用两个函数图像的关系求解，这也体现了数形结合思想的应用。题型四：二次函数的零点问题例4已知二次函数（l）若abc，且f（1）=0，试证明f（x）必有两个零点。（2）若对x1，x2∈R，且x1x2，f（x1）≠f（x2），方程有两个不等实根，证明必有一个实根属于区间（x1，x2）。证明：（l）由f（1）=0，可得a+b+c=0。因为abc，所以a0，c0，即ac0。所以，可知方程有两个不等实根，即函数f（x）有两个零点。（2）令因为所以g（x）=O在（x1，x2）内必有一个实根，即方程在（x1，x2）内必有一个实根。评析：解决二次函数的零点的方法有：（1）利用一元二次方程的求根公式；（2）利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；（3）利用二次函数的图像列不等式组。题型五：抽象函数问题例5已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x1，x2∈[o，2]且x1≠x2时，都有给出下列命题：①函数f（x）一定是周期函数，②函数f（x）在区间[-6，-4]上为增函数；③直线x=-4是函数f（x）图像的一条对称轴；④函数f（x）在区间[-6，6]上有且仅有4个零点。其中正确命题的个数是（）。A.1B.2C.3D.4解：由已知条件可得f（-2+4）=f（-2）+f（2），即f（2）=0，所以f（x+4）=f（x），可知函数f（x）是周期函数，且周期为4，①正确。当x1，x2∈[O，2]且x1≠x2时，都有，可知函数f（x）在[-0，2]上为增函数。又f（x）为周期函数，所以函数f（x）在区间[-6，-4]上为减函数，②不正确。由f（x）为周期函数和偶函数，可知直线x=-4是函数f（x）图像的一条对称轴，③正确。由上可知函数f（x）在区间[-6，6]上有且仅有4个零点，④正确。故选C。评析：对于抽象函数问题，首先要仔细审题，再根据已知条件及函数的性质求解。