隐函数定理及应用.

上一页下一页主页返回退出隐函数概念隐函数存在性条件的分析隐函数定理隐函数求导举例上一页下一页主页返回退出一、隐函数概念在此之前我们所接触的函数其表达式是自变量的某个算式，这种形式的函数称为显函数.例如12xy)1(sinxyeuxyz在实际问题中，经常遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则由一个方程确定01yxy0sin21yxy例如上一页下一页主页返回退出.:,RYXFRYRX函数，设)1(0),(yxF对于方程使得对于任何与若存在集合,YJXI一起，它与，恒有唯一确定的xJyIx个定义，则称由方程确定的一满足方程)1(.的隐函数在上，值域含于JI例如方程122yx确定了定义在(-1,1)上的隐函数21xy也确定了定义在(-1,1)上的另一隐函数21xy上一页下一页主页返回退出0),(yxF若方程确定了定义在I上的隐函数y=f(x)，则有IxxfxF0))(,(并非任一方程都能确定出隐函数，例如方程122yx就不能确定任何函数f(x)，使得1)(22xfx上一页下一页主页返回退出本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程当C0时,能确定隐函数;当C0时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究隐函数的连续性、可微性及求导方法问题.上一页下一页主页返回退出三、隐函数定理一个方程所确定的隐函数及其导数上一页下一页主页返回退出唯一地确内，方程的某邻域则在点0),()(00yxFPUP满足设理）（隐函数存在唯一性定定理),(1.18yxF上连续；为内点的区域在以函数DyxPF),(i)(000;0),(ii)(00yxF;),()iii(内连续在DyxFy,0),(iv)(00yxFy)(),(00隐函数内的函数定一个定义在某区间xx，使得)(xfy,)(100oyxf)())(,(),(000PUxfxxxx时，.),()(200o内连续在xxxf；且0))(,(xfxF上一页下一页主页返回退出唯一地确内，方程的某邻域则在点0),()(00yxFPUP满足设理）（隐函数存在唯一性定定理),(1.18yxF上连续；为内点的区域在以函数DyxPF),(i)(000;0),(ii)(00yxF;),()iii(内连续在DyxFx,0),(iv)(00yxFx)(),(00隐函数内的函数定一个定义在某区间yy，使得)(ygx,)(100oxyg)()),((),(000PUyygyyy时，.),()(200o内连续在yyyg；且0)),((yygF上一页下一页主页返回退出0122yx所以由隐函数定理，方程21xy例如方程函数1),(22yxyxF都在点(0,1)的某邻域连续，0)1,0(FyyxFy2),(以及偏导数且02)1,0(yF确定了定义在x0=0的某邻域(-1,1)上的隐函数0122yx在点(1,0)的某邻域呢？思考上一页下一页主页返回退出满足隐设（隐函数可微性定理）定理),(2.18yxF又设（）的条件（函数存在唯一性定理中),ivi所确内连续，则由方程在0),(),(yxFDyxFx内有在其定义域定的隐函数),()(xxxfy连续的导函数，且),(),()(yxFyxFxfyx上一页下一页主页返回退出方程21xy所确定的隐函数01),(22yxyxF的导数为yxyxFFdxdyyx22上一页下一页主页返回退出在以点若定理),,,()i(3.1821yxxxFn0),,,()(2100yxxxFPUPn内，方程的某邻域则在点上连续；为内点的区域1ooo2o10),,,(nnRDyxxxP;0),,,()ii(ooo2o1yxxxFn;,,,,)iii(21内连续在DFFFFyxxxn,0),,,()iv(ooo2o1yxxxFny的某邻域唯一地确定一个定义在),,,(oo2o10nxxxQ，使得元连续函数内的),,()(210nxxxfynQU上一页下一页主页返回退出时，当)(),,,(1021oQUxxxn)()),,,(,,,,(02121PUxxxfxxxnn，且0)),,,(,,,,(2121nnxxxfxxxF.,,,(oo2o1o）nxxxfy内有连续的偏导数：在)(),,,(2021oQUxxxfyn，而且，，nxxxfff,21，yxxFFf11,22yxxFFfyxxFFfnn,上一页下一页主页返回退出四、隐函数求导举例例.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数0dd,0dd22xxyxxy并求上一页下一页主页返回退出解:令,1sin),(yxeyyxFx,0)0,0(F,yeFxx连续,由定理18.2可知,1)0,0(yF0②导的隐函数则xyFycos③④在x=0的某邻域内方程存在单值可且01sinyxeyx在点(0,0)某邻域①F(x,y)连续上一页下一页主页返回退出0ddxxy0xFFyxxycosyex|00yx0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos(xy3100yyx)(yex)(cosxy)(yex)1sin(yy01sin),(yxeyyxFx上一页下一页主页返回退出0xy30dd22xxy)(,01sinxyyyxeyx两边对x求导两边再对x求导yysin令x=0,注意此时1,0yy)0,0(cosxyyex求隐函数导数的另一方法：0dd,0dd22xxyxxyyycosy上一页下一页主页返回退出例.设,04222zzyx解法10422xzxzzxzxxz220422xz2)(1xz.22xz求再对x求导方程两边分别对x求导上一页下一页主页返回退出解法2利用公式设zzyxzyxF4),,(222则,2xFxzxFFxz两边对x求偏导22xz322)2()2(zxz2zxzx242zFz,04222zzyx)2(zxx上一页下一页主页返回退出zxFFxzxz例.设F(x,y)具有连续偏导数,解法1利用偏导数公式.yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF111F)(2zx2F)(2zyzF12确定的隐函数,)dd(2121yFxFFyFxz则)()(2221zyzxFF已知方程故yy上一页下一页主页返回退出对方程两边求微分:1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxz0d221zzFyFxzyFxFdd21解法2微分法.)dd(2zzyyz)(dzx2F0)(dzy1F2F0上一页下一页主页返回退出例4（反函数的存在性与其导数）设y=f(x)0)(),(0xfxf,)(00yxf且在x0的某邻域内有连续的导函数考虑方程0)(),(xfyyxF由于,0),(00yxF,1yF)(xfFx所以方程隐函数，)(ygx其导数)(ygxyFF)(1xf)(1xf能确定出在y0的某邻域U(y0)内的连续可微的0)(),(xfyyxF0)(),(000xfyxFx连续上一页下一页主页返回退出例1已知xyyxarctanln22，求dxdy.例2设04222zzyx，求22xz.例3设),(xyzzyxfz，求xz，yx，zy.作业：P.1511,3,4