线性代数复习

《线性代数》期末复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）1．四阶行列式的计算；2．N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；3．矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；4．求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；5．含参数的线性方程组解的情况的讨论；6．齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；7．讨论一个向量能否用和向量组线性表示；8．讨论或证明向量组的相关性；9．求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；10．将无关组正交化、单位化；11．求方阵的特征值和特征向量；12．讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；13．通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；14．写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；15．判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用2n个元素ija组成的记号nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算1．一阶行列式aa，二、三阶行列式有对角线法则；2．N阶（n3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。3．特特情况（1）上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则BAAB；④nkAkA3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4．逆矩阵（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；（2）性质：111ABAB，11AA；（3）可逆的条件：①0A；②r(A)=n;③AI（4）逆的求解伴随矩阵法*11AAA；②初等变换法1AI－施行初等行变换IA5．用逆矩阵求解矩阵方程：①BAX，则BAX1；②AXB，则1BAX；CAXB，则11CBAX三、线性方程组1．线性方程组解的判定定理：有无穷多组解有唯一解无解nArbArnArbArArbAr)(),()(),()(),(特别地：对齐次线性方程组AXO，()()rAnrAn，只有零解，有非零解；再特别，若A为方阵，A0A=0，只有零解，有非零解2．齐次线性方程组（1）解的情况：r(A)=n，（或系数行列式0D）只有零解；r(A)n，（或系数行列式D＝0）有无穷多组非零解。（2）解的结构：rnrncccX2211。（3）求解的方法和步骤：①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；②写出对应同解方程组；③移项，利用自由未知数表示所有未知数；④表示出基础解系；⑤写出通解。3．非齐次线性方程组（1）解的情况：利用判定定理。（2）解的结构：rnrncccuX2211。（3）无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。（4）唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。四、向量组1．N维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。2．向量的运算：（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；（2）向量内积nnbababa2211；（3）向量长度22221naaa（4）向量单位化1；（5）向量组的正交化（施密特方法）设n,,,21线性无关，则11，111222，222231111333，………。3．线性组合（1）定义若nnkkk2211，则称是向量组n,,,21的一个线性组合，或称可以用向量组n,,,21的一个线性表示。（2）判别方法将向量组合成矩阵，记A＝(n,,,21)，B=(n,,,21,)若r(A)=r(B)，则可以用向量组n,,,21的一个线性表示；若r(A)r(B)，则不可以用向量组n,,,21的一个线性表示。（3）求线性表示表达式的方法：将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。4．向量组的线性相关性（1）线性相关与线性无关的定义设02211nnkkk，若nkkk,,,21不全为0，称线性相关；若nkkk,,,21全为0，称线性无关。（2）判别方法：①r(n,,,21)n，线性相关；r(n,,,21)=n，线性无关。②若有n个n维向量，可用行列式判别：nnnnnnaaaaaaaaa212222111211＝0，线性相关（0无关）5．极大无关组与向量组的秩（1）定义极大无关组所含向量个数称为向量组的秩（2）求法设A＝(n,,,21)，将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。五、矩阵的特征值和特征向量1．定义对方阵A，若存在非零向量X和数使AX＝X，则称是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于特征值的特征向量。2．特征值和特征向量的求解：求出特征方程0AI的根即为特征值，将特征值代入对应齐次线性方程组(I-A)X＝0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。3．重要结论：（1）A可逆的充要条件是A的特征值不等于0；（2）A与A的转置矩阵有A有相同的特征值；（3）不同特征值对应的特征向量线性无关。六、矩阵的相似1．定义对同阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使BAPP1，则称A与B相似。2．求A与对角矩阵∧相似的方法与步骤（求P和∧）：①求出所有特征值；②求出所有特征向量；③若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为∧。3．求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵：方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型1．定义n元二次多项式njijiijnxxaxxxf1,21,,,称为二次型，若jiaij0，则称为二交型的标准型。2．二次型标准化：配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q，QQ1，即正交变换既是相似变换又是合同变换。3．二次型或对称矩阵的正定性：（1）定义（略）；（2）正定的充要条件：①A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0；②A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0；