高中数学-导数及其应用课件复习

导数及其应用1.导数的概念(1)(2)(3)f′(x0)与f′(x)的关系.2.导数的几何意义(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点（x0,f(x0)）处的切线的斜率.即k=f′(x0).(2)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)..)()()(0000limxxfxxfxfx.)()()(lim0xxfxxfxfx(3)导数的物理意义：s(t)=v(t),v(t)=a(t).3.基本初等函数的导数公式和运算法则（1）基本初等函数的导数公式11:()'()'0;2:(sin)'cos(cos)'sin;3:()ln(01)()'14:(log)'(0,1);ln1(ln)';nnxxxxaxnxCxxxxaaaaaeexaaxaxx公式特例：公式公式且特例：公式且特例：（2）导数的四则运算法则①［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).②［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).③(3)复合函数求导复合函数y=f(g(x))的导数和y=f(u),u=g(x)的导数之间的关系为yx′=f′(u)g′(x).4.函数的性质与导数（1）在区间(a,b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间（a,b）上单调递增.在区间（a,b）内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间（a,b）上单调递减.).0)(()()()()()()()(2xvxvxvxuxvxuxvxu（2）求极值的步骤①先求定义域再求f′(x)；②求f′(x)=0的根；③判定根两侧导数的符号；④下结论.（3）求函数f(x)在区间［a,b］上的最大值与最小值的步骤①求f′(x)；②求f′(x)=0的根（注意取舍）；③求出各极值及区间端点处的函数值；④比较其大小，得结论（最大的就是最大值，最小的就是最小值）.一、导数几何意义的应用例1（2008·海南理，21）设函数（a,b∈Z），曲线y=f(x)在点（2，f（2））处的切线方程为y=3.（1）求f（x）的解析式；（2）证明：函数y=f（x）的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.bxaxxf1)(思维启迪(1)先求f′(x).再由f′(2)=0,f(2)=3.解得a,b.(2)利用图象的对称和平移变换求解.(3)先求过曲线上任一点（x0,y0）的切线方程，然后将面积用点（x0,y0）坐标表示，再用上点（x0,y0）在f(x)上即得证.（1）解因为a,b∈Z，故,)(1)(2bxaxf.38,49,1,1.0)2(1,32122babababa或解得于是.11)(xxxf(2)证明已知函数y1=x,都是奇函数,所以函数也是奇函数,其图象是以原点为中心的中心对称图形.而可知,函数g(x)的图象按向量a=(1,1)平移,即得到函数f(x)的图象,故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.(3)证明在曲线上任取一点由知,过此点的切线方程为xy12xxxg1)(.1111)(xxxf),11,(000xxx200)1(11)(xxf令x=1,得切线与直线x=1的交点为令y=x,得y=2x0-1,切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1);直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),从而所围三角形的面积为所以,所围三角形的面积为定值2.).()1(11110200020xxxxxxy,1100xxy);11,1(00xx.22212211121112100000xxxxx探究提高求曲线切线方程的步骤是：（1）求出函数y=f(x)在点x=x0的导数，即曲线y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处切线的斜率；（2）在已知切点坐标P（x0,f(x0)）和切线斜率的条件下，求得切线方程为y-y0=f′(x0)·(x-x0).注意：①当曲线y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处的切线平行于y轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为x=x0；②当不知道切点坐标时，应首先设出切点坐标，再求解.变式训练1（2009·启东模拟）已知函数f（x）的图象在点M（-1，f（-1））处的切线方程为x+2y+5=0.（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x）的单调区间.解（1）由函数f（x）的图象在点M（-1，f（-1））处的切线方程为x+2y+5=0，知-1+2f（-1）+5=0，即f（-1）=-2，bxax26.21)1(f222)()6(2)()(bxaxxbxaxf解得a=2，b=3或a=-6，b=-1,∵b+1≠0，∴b=-1舍去.所以所求的函数解析式是（2）令-2x2+12x+6=0，解得x1=3-，x2=3+.当x＜3-，或x＞3+时，f′（x）＜0；当3-＜x＜3+时，f′（x）＞0..21)1()6(2)1(,42,21)1()6(2)1(,21622babababababa即.362)(2xxxf.)3(6122)(222xxxxf323232323232所以在（-∞，3-）内是减函数，在（3-，3+）内是增函数，在（3+，+∞）内是减函数.所以f(x)的单调递增区间是（3-，3+），-∞,3-）和（3+,+∞）.362)(2xxxf3232323232323232二、利用导数研究函数的单调性例2（2009·陕西文，20）已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0.(1)求f(x)的单调区间；（2）若f(x)在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.解（1）f′(x)=3x2-3a=3(x2-a).当a0时，对任意的x∈R,有f′(x)0,∴当a0时，f(x)的单调增区间为（-∞,+∞）;当a0时，由f′(x)0解得x-,或x,由f′(x)0,解得-x,aaaa∴当a0时,f(x)的单调增区间为(-∞,),(,+∞),f(x)的单调减区间为（-,）.(2)∵f(x)在x=-1处取得极值,∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0.∴a=1.∴f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3.由f′(x)=0解得x1=-1,x2=1,由（1）中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3.∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点,结合f(x)的单调性可知m的取值范围是（-3，1）.aaaa变式训练2（2009·北京文，18）设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0).(1)若曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处与直线y=8相切，求a,b的值；（2）求函数f(x)的单调区间与极值点.解（1）f′(x)=3x2-3a.因为曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处与直线y=8相切，所以即解得f′(2)=0.f(2)=8,3(4-a)=0,8-6a+b=8a=4,b=24.(2)f′(x)=3(x2-a)(a≠0).当a0时，f′(x)0函数f(x)在（-∞,+∞）单调递增；此时函数f(x)没有极值点.当a0时，由f′(x)=0得x=±.当x∈(-∞,-)时,f′(x)0,函数f(x)单调递增；当x∈(-,)时，f′(x)0,函数f(x)单调递减；当x∈(,+∞)时，f′(x)0,函数f(x)单调递增.此时x=-是f(x)的极大值点,x=是f(x)的极小值点.aaaaaaa当a0时，f(x)的增区间是（-∞,+∞）.当a0时，f(x)的增区间是(-∞,),(,+∞)，减区间是（-,）.当a0当a0时，x=-x=是极小值点.aaaaaa三、利用导数研究函数的极值和最值例3已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称.(1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；(2)若a0，求函数y=f(x)在区间（a-1，a+1）内的极值.思维启迪（1）根据f(x)、g(x)的函数图象的性质，列出关于m，n的方程，求出m、n的值.（2）分类讨论.解(1)由函数f(x)的图象过点（-1，-6），得m-n=-3.①由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n,则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n.而g(x)的图象关于y轴对称，所以所以m=-3.代入①得n=0.于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2).由f′(x)0得x2或x0,故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和（2，+∞);由f′(x)0,得0x2,故f(x)的单调递减区间是（0，2）.（2）由（1）得f′(x)=3x(x-2),令f′(x)=0得x=0或x=2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：,03262m由此可得：当0a1时，f(x)在（a-1，a+1）内有极大值f(0)=-2,无极小值；当a=1时，f(x)在（a-1，a+1）内无极值;当1a3时，f(x)在（a-1，a+1）内有极小值f(2)=-6,无极大值；当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1)内无极值.综上得,当0a1时，f(x)有极大值-2，无极小值；x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值当1a3时，f(x)有极小值-6,无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值.探究拓展（1）求单调递增区间，转化为求不等式f′(x)≥0(不恒为0)的解集即可，已知f(x)在M上递增f′(x)≥0在M上恒成立，注意区别.（2）研究函数的单调性后可画出示意图.讨论区间与0，2的位置关系，画图→截取→观察即可.变式训练3（2009·广州模拟）函数f(x)=x3+ax2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P（1，f(1)）的切线方程为y=3x+1.（1）若y=f(x)在x=-2时有极值,求f(x)的表达式；（2）在（1）的条件下,求y=f(x)在［-3，1］上的最大值；（3）若函数y=f(x)在区间［-2，1］上单调递增，求实数b的取值范围.解（1）由f(x)=x3+ax2+bx+c求导数得f′(x)=3x2+2ax+b.过y=f(x)上点P（1，f(1)）的切线方程为y-f(1)=f′(1)(x-1),即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1).而过y=f(x)上点P（1,f(1)）的切线方程为y=3x+1.故即∵y=f(x)在x=-2时有极值，故f′(-2)=0.∴-4a+b=-12.③由①②③联立解得a=2,b=-4,c=5,∴f(x)=x3+2x2-4x+5.(2)f′(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2),令f′(x)=0，解得3+2a+b=3,-a+c-2=1,2a+b=0,①c-a=3.②.232xx或列下表：∴f(x)的极大值为f(-2)=13,极小值为又∵f(-3)=8,f(1)=4,∴f(x)在［-3，1］上的最大值为13.（3）y=f(x)在［-2,1］上单调递增.又f′(x)=3x2+2ax+b.由（1）知2a+b=0.∴f′(x)=3x2-bx+b.x-3(-3,-2)-21f′(x)+0-0+f(x)8极大值极小值4)32,2()1,32(32.2795)32(f依题意在［-2,1］上恒有f′(x)≥0,即3x2-bx+b≥0在［-2，1］上恒成立，当时,即b≥6时［f′(x