专题4.4-立体几何中最值问题-玩转压轴题-突破140分之高三数学选填题高端精品(原卷版)

玩转压轴题，突破140分之高三数学选填题高端精品专题04立体几何中最值问题一．方法综述高考试题将趋于关注那些考查学生运用运动变化观点处理问题的题目，而几何问题中的最值与范围类问题，既可以考查学生的空间想象能力，又考查运用运动变化观点处理问题的能力，因此，将是有中等难度的考题．此类问题，可以充分考查图形推理与代数推理，同时往往也需要将问题进行等价转化，比如求一些最值时，向平面几何问题转化，这些常规的降维操作需要备考时加强关注与训练．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题一般可从三个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函数的最值问题求解；二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解。[来源:学科网]二．解题策略类型一距离最值问题【例1】如图，矩形ADFE，矩形CDFG，正方形ABCD两两垂直，且2AB，若线段DE上存在点P使得GPBP，则边CG长度的最小值为（）A.4B.43C.D.23举一反三1、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是_____。2、【2017甘肃省天水市第一中学上学期期末】如图所示,在空间直角坐标系中,D是坐标原点,有一棱长为a的正方体,E和F分别是体对角线和棱上的动点,则的最小值为（）A.B.C.aD.3、如右图所示，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，E为棱1CC的中点，点,PQ分别为面1111ABCD和线段1BC上的动点，则PEQ周长的最小值为_______．类型二面积的最值问题【例2】已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）ABCD的外接球，3BC，23AB，点E在线段BD上，且3BDBE，过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A.,4B.2,4C.3,4D.0,4举一反三1、在三棱锥P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC且AC=1，AB=2，PA=3，过AB作截面交PC于D，则截面ABD的最小面积为（）A.1010B.355C.31010D.552、如图，在正四棱柱1111DCBAABCD中，2,11AAAB，点P是平面1111DCBA内的一个动点，则三棱锥ABCP的正视图与俯视图的面积之比的最大值为（）A．1B．2C．21D．413、正三棱锥V-ABC的底面边长为a2，E,F,G,H分别是VA,VB,BC,AC的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围是（）A．,0B．,332aC．,632aD．,212a类型三体积的最值问题【例3】如图，已知平面平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，，是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（）A.B.C.D.举一反三1、已知AD与BC是四面体ABCD中相互垂直的棱，若6ADBC，且60ABDACD，则四面体ABCD的体积的最大值是A.182B.362C.18D.362、如图，已知平面l，A、B是l上的两个点，C、D在平面内，且,,DACB4AD，6,8ABBC，在平面上有一个动点P，使得APDBPC，则PABCD体积的最大值是（）CB1A俯视图侧视图正视图1C1DA1BPDA.243B.16C.48D.1443、(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A.4πB.9π2C.6πD.32π3类型四角的最值问题【例4】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为.举一反三1、矩形ABCD中，，，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC成的角范围（包含初始状态）为（）A.B.C.D.[来源:Z§xx§k.Com]2、在正方体1111DCBAABCD中，O是BD中点，点P在线段11DB上，直线OP与平面BDA1所成的角为，则sin的取值范围是（）A．]33,32[B．]21,31[C．]33,43[D．]31,41[3、在正四面体PABC中，点M是棱PC的中点，点N是线段AB上一动点，且ANAB，设异面直线NM与AC所成角为，当1233时，则cos的取值范围是__________．三．强化训练1、正方体1111ABCDABCD中，点P在1AC上运动（包括端点），则BP与1AD所成角的取值范围是（）A.,43B.,42C.,62D.,632．如图，在矩形ABCD中，2,1ABAD,点E为CD的中点，F为线段CE（端点除外）上一动点现将DAF沿AF折起，使得平面ABD平面ABC设直线FD与平面ABCF所成角为，则sin的最大值为（）A.13B.24C.12D.233、如下图，正方体1111ABCDABCD中，E是1DD的中点，F是侧面11CDDC上的动点，且1BF//平面1ABE，则1BF与平面11CDDC所成角的正切值的最小值是_________[来源:学,科,网Z,X,X,K]4、【2014四川，理8】如图，在正方体1111ABCDABCD中，点O为线段BD的中点.设点P在线段1CC上，直线OP与平面1ABD所成的角为，则sin的取值范围是（）A．3[,1]3B．6[,1]3C．622[,]33D．22[,1]35、已知三棱锥PABC的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足0PAPB，0PBPC，0PCPA，则三棱锥PABC的侧面积的最大值为（）A．12B．1C．2D．46、体积为183的正三棱锥ABCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱锥内部，且:2:3RBC，点E为线段BD的中点，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是_________．7、(数学文卷·2017届广东省揭阳市届高三上学期期末调研考试第15题)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________．（容器壁的厚度忽略不计）8、【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB，8BC，13AA，则V的最大值是（）（A）4π（B）92（C）6π（D）3239、【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.10、【2016高考浙江理数】如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是.11、中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方体棱台（上、下底面均为矩形额棱台）的专用术语，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上表，下表从之，亦倍小表，上表从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六面一.”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，以此算法，现有上下底面为相似矩形的棱台，相似比为12，高为3，且上底面的周长为6，则该棱台的体积的最大值是（）A.14B.56C.634D.6312、（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为__________.13、如图，在三棱锥ABCD中，平面ABC平面BCD，BAC与BCD均为等腰直角三角形，且90BACBCD，2BC．点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30的角，则线段PA长的取值范围是（）[来源:学科网]A.20,2B.60,3C.2,22D.6,231D1BPD1CCEBA1A14、如图所示，在直三棱柱中，,分别为的中点，为线段上一点，设，给出下面几个命题：①的周长是单调函数，当且仅当时，的周长最大；②的面积满足等式，当且仅当时，的面积最小；③三梭锥的体积为定值.[来源:学科网ZXXK]其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.3