高中数学复习平面向量人教版必修4

４.向量之间的关系：:平行向量（共线向量）相等向量：一、向量的初步:相反向量1.定义：既有大小又有方向的量叫向量2.向量的表示：::ABa向量的几何表示用有向线段表示向量的符号表示或3.特殊向量：:零向量:单位向量||0aaa[1]加法：cbaabc（平行四边形法则）特殊地：若a‖babc||||||bac分为同向和反向bac||||||bac||||||||||||bababaOxyijaA(x,y)a1.以原点O为起点的,aOAjyixa2．已知求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyOAB),(1212yyxx),(yxa二、向量的坐标表示向量的正交分解a向量的模（长度）3.设a=(x,y),则4.若表示向量a的起点和终点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则ABa22yx221221yyxx向量的坐标运算设向量），（），，（2211yxbyxa则ababa),(2121yyxx),(2121yyxx）（11,yx说明：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。说明：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。2121yyxxba说明：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。121222221122xxyyxyxy||cosa||abb,ab的夹角公式ab在方向上的投影||||ababcos22||aa向量垂直充要条件的两种形式:0)2(0)1(2121yyxxbabababa四、平面向量之间关系向量平行(共线)充要条件的两种形式:11221221(1)//(0);(2)//((,),(,),0)abbababaxybxybxyxy向量相等的充要条件2121yyxxba且五、定比分点的坐标公式、的坐标，则点且上一点是直线），）、（，的坐标分别是（、已知点PPPPPPPPyxyxPP2121221121,)1(112121yyyxxx2212121yyyxxx特殊的中点坐标公式定比分点坐标公式反馈练习：1.判断下列命题是否正确：（1）00a（3）（5）若，则对于任一非零有0ab0ba（4）00a（2）BAAB0||||||baba（6）若，则至少有一个为0baba、（7）对于任意向量都有cba、、）（）（cbacba（8）是两个单位向量，则ba与22ba0（9）若，则0,,ccbcaba[例1](1)(2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BEC．ADD．CF(2)(2011·广东高考)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝()A.14B.12C．1D．2[解析](1)如图，在正六边形ABCDEF中，CD＝AF，BF＝CE，∴BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋EF＝BF＋EF＝CE＋EF＝CF.(2)可得a＋λb＝(1＋λ，2)，由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12.[答案](1)D(2)B[例2](1)(2012·天津高考)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R.若BQ·CP＝－2，则λ＝()A.13B.23C.43D．2(2)(2011·辽宁高考)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A.2－1B．1C.2D．2[解析](1)设AB＝a，AC＝b，则由已知得a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，并且AP＝λa，AQ＝(1－λ)b，所以BQ＝AQ－AB＝(1－λ)b－a，CP＝AP－AC＝λa－b，所以BQ·CP＝[(1－λ)b－a]·(λa－b)＝[λ(1－λ)＋1]a·b－λa2－(1－λ)b2＝－λ－4(1－λ)＝3λ－4＝－2，所以λ＝23.(2)由(a－c)·(b－c)≤0，a·b＝0，得a·c＋b·c≥c2＝1，∴(a＋b－c)2＝1＋1＋1－2(a·c＋b·c)≤1.∴|a＋b－c|≤1.[答案](1)B(2)B4．(2012·浙江高考)设a，b是两个非零向量()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|解析：若|a|＋|b|＝|a|－|b|，则cos〈a，b〉＝－1，a、b反向共线，故A错误，C正确；当a⊥b时，a、b不反向，也不共线，B错误；若a、b同向，则|a＋b|≠|a|－|b|，D错误．答案：C8.,,_______.ABCOAOBOBOCOCOAOABC已知在中则是的心[解]()0,0,,,.OAOBOBOCOBOAOCOBCAOBCAOCABOABCOABC由得：即同理故是的垂心.)(,2,,)2005(的最小值求若上的一个动点是为中线中在年江苏卷OCOBOAAMAMOABC[例11]OMOAOMOAOMOAOCOBOAOMOCOB2180cos22)(2[解析].2)(2)(.1)2(,22最小值为即时取等号当且仅当即OCOBOAOCOBOAOMOAOMOAOMOAOMOA[例1]已知向量a＝(3，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝3，则b等于()A.32，12B.12，32C.14，334D．(1,0)分析：设出b的坐标，由a·b＝3及|b|＝1列方程可解．解析：方法1：令b＝(x，y)(y≠0)，则x2＋y2＝1，①3x＋y＝3，②将②代入①得x2＋(3－3x)2＝1，即2x2－3x＋1＝0，∴x＝1(舍去，此时y＝0)或x＝12⇒y＝32.方法2：排除法，D中y＝0不合题意；C不是单位向量，舍去；代入A，不合题意，故选B.•答案：B(2010·辽宁锦州)已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则OA→·OB→＝()A.12B．－12C.14D．－14解析：设AB中点为P，∵|AB|＝3，∴|AP|＝32，又|OA|＝1，∴∠AOP＝π3，∴∠AOB＝2π3，∴OA→·OB→＝|OA→|·|OB→|·cos2π3＝－12.•答案：B(文)已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋λb与向量－b互相垂直，则实数λ的值为()A.232B.323C．2D．－25•答案：D解析：a＋λb＝(3,4)＋λ(2，－1)＝(3＋2λ，4－λ)，－b＝(－2,1)，∵(a＋λb)⊥(－b)，∴－2(3＋2λ)＋4－λ＝0，∴λ＝－25，故选D.•(理)(2010·唐山联考)已知c、d为非零向量，且c＝a＋b，d＝a－b，则|a|＝|b|是c⊥d的()•A．充分不必要条件•B．必要不充分条件•C．充要条件•D．既不充分也不必要条件•解析：因为c，d为非零向量，所以c⊥d⇔c·d＝0⇔a2－b2＝0⇔|a|2－|b|2＝0⇔|a|＝|b|.因此|a|＝|b|是c⊥d的充要条件，选C.•答案：C分析：欲求a与b的夹角，由公式cos〈a，b〉＝a·b|a||b|及条件知，只要利用条件将a·b用|a|(或|b|)表示即可获解．•[例3](2010·湖南文)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()•A．30°B．60°•C．120°D．150°解析：由(2a＋b)·b＝0得，2a·b＋b2＝0，从而a·b＝－b22，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－b22b2＝－12，∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.•答案：C解析：|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝1－2×1×2×cos60°＋4＝3，∴|a－b|＝3.•(文)(2010·江西)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝____________.答案：3解析：∵|a＋b|＝|(3，k＋2)|＝k＋22＋32≤5，∴(k＋2)2≤42，∴－6≤k≤2.∴选C.•(理)已知向量a＝(－2,2)，b＝(5，k)．若|a＋b|不超过5，则k的取值范围是()•A．[－4,6]B．[－6,4]•C．[－6,2]D．[－2,6]答案：C[例6]已知向量a＝(cos32x，sin32x)，b＝(cosx2，－sinx2)，且x∈[－π3，π4]．(1)a·b＝________，|a＋b|＝________；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，则f(x)的最大值和最小值分别为________．解析：(1)a·b＝cos32xcosx2－sin32xsinx2＝cos2x，|a＋b|＝cos32x＋cosx22＋sin32x－sinx22＝2＋2cos2x＝2|cosx|，∵x∈[－π3，π4]，∴cosx0，∴|a＋b|＝2cosx.(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝2(cosx－12)2－32.∵x∈[－π3，π4]，∴12≤cosx≤1，∴当cosx＝12时，f(x)取得最小值－32；当cosx＝1时，f(x)取得最大值－1.•点评：向量与三角、数列、函数、解析几何交汇是常见的命题方式．答案：(1)cos2x2cosx(2)－1－32(理)已知a＝(2cosx2，tanx2＋π4)，b＝2sinx2＋π4，tanx2－π4.令f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间．(2)是否存在实数x∈[0，π]，使f(x)＋f′(x)＝0？若存在，求出x的值；若不存在，请证明．解析：(1)f(x)＝a·b＝22cosx2sin(x2＋π4)＋tan(x2＋π4)tan(x2－π4)＝22cosx2(22sinx2＋22cosx2)＋1＋tanx21－tanx2·tanx2－11＋tanx2＝2sinx2cosx2＋2cos2x2－1＝sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)．所以f(x)的最大值为2，最小正周期为2π，f(x)在[0，π4]上单调递增，在[π4，π]上单调递减．(2)f(x)＝a·b＝22cosx2sinx2＋π4＋tanx2＋π4tanx2－π4＝22cosx222cosx2＋22sinx2＋1＋tanx21－tanx2·tanx2－1tanx2＋1＝sinx＋cosx.令f(x)＋f′(x)＝sinx＋cosx＋cosx－sinx＝0得cosx＝0.∵x∈(0，π)，∴x＝π2..0,,(cos,sin),aabcabc例17若向量则与一定满足()以上都不对D.)()(C.0B.A.cbcbcbab).()(0))((1sincos,12222cbcbcbcbcbcb[解][答案]CABACABACABACBCABCABACABAC例18(06陕西)已知非零向量与满足1(+)=0且=则为()2A,三边均不相等的三角形,B直角三角形,C,等腰非等边三角形,D等边三角形,,,60,ABACAABACAABACABACAABACA解析:+在的平分线上,由题意得的平分线垂直于边BC,1故又=11c