线性回归方程

中国教育领军品牌1一切为了孩子环球雅思学科教师辅导讲义讲义编号：组长签字：签字日期：学员编号：年级：高二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：闫建斌课题线性回归方程授课日期及时段2014-2-1118:00-20:00教学目标线性回归方程基础重点、难点教学内容1、本周错题讲解2、知识点梳理1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：abxy（最小二乘法）最小二乘法：求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法1221niiiniixynxybxnxaybx注意：线性回归直线经过定点),(yx2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()())((注：⑴r0时，变量yx,正相关；r0时，变量yx,负相关；中国教育领军品牌2一切为了孩子⑵①||r越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。3．线形回归模型：⑴随机误差e：我们把线性回归模型eabxy，其中ba,为模型的未知参数，e称为随机误差。随机误差abxyeiii⑵残差eˆ：我们用回归方程axbyˆˆˆ中的yˆ估计abx，随机误差)(abxye，所以yyeˆˆ是e的估计量，故axbyyyeiiiiiˆˆˆˆ，eˆ称为相应于点),(iiyx的残差。⑶回归效果判定-----相关指数(解释变量对于预报变量的贡献率)22121ˆ()1()niiiniiiyyRyy(2R的表达式中21)(niiyy确定)注：①2R得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；②2R越接近于1，，则回归效果越好。4．独立性检验（分类变量关系）：(1)分类变量：这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量。(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表。(3)对于22列联表：2K的观测值))()()(()(2dbcadcbabcadnk。(4)临界值0k表：)(02kkP0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828如果0kk，就推断“YX,有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；否则，在样本数据中没有发现足够证据支持结论“YX,有关系”。(5)反证法与独立性检验原理的比较：中国教育领军品牌3下，如果推出矛盾，就证明了0H不成立。独立性检验原理在假设0H下，如果出现一个与0H相矛盾的小概率事件，就推断0H不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率。典型例题1．(2011·山东)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x/万元4235销售额y/万元49263954根据上表可得回归方程y^＝b^x＋a^中的b^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()．A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元解析∵x－＝4＋2＋3＋54＝72，y－＝49＋26＋39＋544＝42，又y^＝b^x＋a^必过(x－，y－)，∴42＝72×9.4＋a^，∴a^＝9.1.∴线性回归方程为y^＝9.4x＋9.1.∴当x＝6时，y^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．答案B2．(2011·江西)为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x/cm174176176176178儿子身高y/cm175175176177177则y对x的线性回归方程为()．A.y^＝x－1B.y^＝x＋1C.y^＝88＋12xD.y^＝176解析因为x－＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y－＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，中国教育领军品牌4的线性回归方程表示的直线恒过点(x－，y－)，所以将(176,176)代入A、B、C、D中检验知选C.答案C3．(2011·陕西)设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是()．A．x和y的相关系数为直线l的斜率B．x和y的相关系数在0到1之间C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D．直线l过点(x－，y－)解析因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A、B错误．C中n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以C错误．根据回归直线方程一定经过样本中心点可知D正确，所以选D.答案D4．(2011·广东)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．解析小李这5天的平均投篮命中率y－＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝0.5，可求得小李这5天的平均打篮球时间x－＝3.根据表中数据可求得b^＝0.01，a^＝0.47，故回归直线方程为y^＝0.47＋0.01x，将x＝6代入得6号打6小时篮球的投篮命中率约为0.53.答案0.50.535．(2011·辽宁)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y^＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254.答案0.254中国教育领军品牌5．(2011·安徽)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20022004200620082010需求量(万吨)236246257276286(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y^＝b^x＋a^；(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．解(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：年份－2006－4－2024需求量－257－21－1101929对预处理后的数据，容易算得x－＝0，y－＝3.2.b^＝－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×3.2－42＋－22＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a^＝y－－bx－＝3.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y^－257＝b^(x－2006)＋a^＝6.5(x－2006)＋3.2，即y^＝6.5(x－2006)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．课堂练习1．实验测得四组(x，y)的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x之间的回归直线方程为()A.y^＝x＋1B.y^＝x＋2C.y^＝2x＋1D.y^＝x－12．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是()A．甲B．乙C．甲、乙相同D．不确定3．某化工厂为预测产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取8对观测值，计算，得∑8i＝1xi＝52，∑8i＝1yi＝228，∑8i＝1x2i＝478，∑8i＝1xiyi＝1849，则其线性回归方程为()A.y^＝11.47＋2.62xB.y^＝－11.47＋2.62xC.y^＝2.62＋11.47xD.y^＝11.47－2.62x中国教育领军品牌6．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x1234用水量y4.5432.5由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y^＝－0.7x＋a，则a等于______．5．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时)2.5344.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y关于x的线性回归方程y^＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少小时？课后练习一、选择题1．实验测得四组(x，y)的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y与x之间的回归直线方程为()A.y^＝x＋1B.y^＝x＋2C.y^＝2x＋1D.y^＝x－1答案A解析画出散点图，四点都在直线y^＝x＋1.2．下列有关样本相关系数的说法不正确的是()A．相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度B．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大C．|r|≤1，且|r|越接近0，相关程度越小D．|r|≥1，且|r|越接近1，相关程度越小答案D3．由一组样本(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)得到的回归直线方程y^＝a＋bx，下面有四种关于回归直线方程的论述：(1)直线y^＝a＋bx至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点；中国教育领军品牌7一切为了孩子(2)直线y^＝a＋bx的斜率是∑ni＝1xiyi－nxy∑ni＝1x2i－nx2；(3)直线y^＝a＋bx必过(x，y)点；(4)直线y^＝a＋bx和各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的偏差∑ni＝1(yi－a－bxi)2是该坐标平面上所有的直线与这些点的偏差中最小的直线．其中正确的论述有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案D解析线性回归直线不一定过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的任何一点；b＝∑ni＝1xiyi－nxy∑ni＝1x2i－nx2就是线性回归直线的斜率，也就是回归系数；线性回归直线过点(x，y)；线性回归直线是平面上所有直线中偏差∑ni＝1(yi－a－bxi)2取得最小的那一条．故有三种论述是正确的，选D.4．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有()A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反D．a与r的符号相反答案A5．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是()A．甲B．乙C．甲、乙相同D．不确定答案A6．某化工厂为预测产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取8对观测值，计算，得∑8i＝1xi＝52，∑8i＝1yi＝228，∑8i＝1x2i＝478，∑8i＝1xiyi＝1849，则其线性回归方程为()A.y^＝11.47＋2.62xB.y^＝－11.47＋2.62xC.y^＝2.62＋11.47xD.y^＝11.47－2.62x答案A解析利用回归系数公式计算可得a＝11.47，b＝2.62，故y^＝11.47＋2.62x.二、填空题7．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x1234用水量y4.5432.5由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y^＝