导数应用题(解析)

1.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803立方米，且2lr≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)cc＞千元，设该容器的建造费用为y千元．（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r．解：（I）设容器的容积为V，由题意知23480,,33VrlrV又故322248044203()333Vrlrrrrr由于2lr因此02.r所以建造费用2224202342()34,3yrlrcrrrcr因此21604(2),02.ycrrr（II）由（I）得3221608(2)20'8(2)(),02.2cycrrrrrc由于3,20,cc所以当3320200,.22rrcc时令320,2mc则0m（1）当9022mc即时，当r=m时,y'=0;当r(0,m)时,y'0;当r(m,2)时,y'0.所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点。（2）当2m即932c时，当(0,2),'0,ry时函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点，综上所述，当932c时，建造费用最小时2;r当92c时，建造费用最小时2.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm（1）某广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）某广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。P解：设馐盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），由已知得.300),30(22260,2xxxhxa（1）,1800)15(8)30(842xxxahS所以当15x时，S取得最大值.（2）()由00xV得（舍）或x=20.当)20,0(x时，.0)30,20(;0VxV时当所以x=20时，V取得极大值，也是最小值.此时1122ha即装盒的高与底面边长的比值为1.2大。3.如图，在xxEFABDC=2,2ABCBABBCPAB中，，为边上一动点，PD//BC交AC于点D,现将'',PDA.PDAPDPDAPBCD沿翻折至使平面平面（1）当棱锥'APBCD的体积最大时，求PA的长；（2）若点P为AB的中点，E为''.ACBDE的中点，求证：A解：（1）设xPA，则令则232)(2xxfx)332,0(332)(xf0)(xf单调递增极大值单调递减由上表易知：当332xPA时，有PBCDAV-取最大值。证明：作BA得中点F，连接EF、FP，由已知得：FPEDPDBCEF////21//PBA为等腰直角三角形，PFBA，所以DEBA.4.江西理19）设axxxxf22131)(23.（1）若)(xf在),32(上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）当20a时，)(xf在]4,1[上的最小值为316，求)(xf在该区间上的最大值.【解析】（1）)(xf在),32(上存在单调递增区间，即存在某个子区间),32(),(nm使得0)('xf.由axaxxxf241)21(2)(22'，)('xf在区间),32[上单调递减，则只需0)32('f即可。由0292)32('af解得91a，所以，当91a时，)(xf在),32(上存在单调递增区间.（2）令0)('xf，得两根28111ax，28111ax，28112ax.所以)(xf在),(1x，),(2x上单调递减，在),(21xx上单调递增当20a时，有4121xx，所以)(xf在]4,1[上的最大值为)(2xf又06227)1()4(aff，即)1()4(ff所以)(xf在]4,1[上的最小值为3163408)4(af，得1a，22x，从而)(xf在]4,1[上的最大值为310)2(f.