三角形外接内切圆半径与边长关系

一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c外接圆半径为R，（如右图所示）则sinsincoscos2)cos(222abcba（余弦定理）而RbRb22cos，RbR4sin22RaRa22cos，RaR4sin22即有：abcba2222RaRRbRRaRb44222222即有：222222222)4)(4(RaRbRababcba所以：)4)(4()(222222222aRbRabcbaRab即有：2222242222422222)(416)(4)(4)(baRbaRabcbaRcbaRab所以：])(4[222222abcbaRc，即：])(4[2222222222cbabaRcba所以：))()()((acbbcacbacbaabcR而三角形面积：))()()((4acbbcacbacbaS（海伦公式）所以，有：SabcR4※另一求法，可用正弦定理，即：RAa2sin，而bcacbA2cos222所以：22222222222)(4)2(12)(cos12sin2acbcbabcbcacbaAaAaRabcRαβ二、任意三角形内切圆的半径设三角形各边边长分别为a,b,c内切圆半径为r，（如右图所示）因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点，所以，会有czybyxazx，解得2cbax显然：tanxr，而2cos1)2(cos12cos12sintan2而由余弦定理有：abcba22cos222所以：))(()()(421)2(1tan222222222222cbacbacbaababcbaabcba即有:)(2)()(4))(()()(422222222222cbacbaabcbacbacbaabcbar即：cbaScbaScbaacbbcacbacbar2)(24)(2))()()((xabcRααxyyzzr