线性代数考研辅导20171001ppt

1线性代数东南大学数学系周建华2目录第一部分行列式第二部分矩阵第三部分向量第四部分线性方程组第五部分特征值、特征向量第六部分实对称矩阵和二次型第七部分向量空间历年试题3第一部分行列式4一行列式的定义ijnnAa的行列式定义为矩阵121212(,)12,(1)nnniiiiiniiiiAaaa要点：是!n项代数和；每一项均是取自不同行，不同列的n个元素的乘积；每一项前正、负号的确定。5下列乘积是不是4阶行列式中展开式中的项？如是，项前的带什么符号？32241342aaaa32241341aaaa6求行列式512312123122xxxxxx中43,xx的系数。7注：1.对角线法则一般地不再成立。2.记住上、下三角阵的行列式的值。8二行列式的性质不必会证明，但要会熟练运用。1．线性性质；11,,,,,,,,ininkk''''''111,,,,,,,,,,,,iiininn11,,,,,,,,,,,,ijnjin11,,,,,,,,,,ijjnijnk。92.上述性质的一些推论(1).如果行列式有一行的元素全为零，则其值为零；(2).如果行列式有两行的元素对应相等，则其值为零；(3).如果行列式有两行的元素对应成比例，则其值为零.103.行列式按行、列展开：1122iiiiininAaAaAaA1122jjjjnjnjAaAaAaA114.行列式乘法定理：假设,AB都是nn矩阵，则ABAB。125.分块矩阵的行列式：ACABOBAOABCB13容易出现的错误OAABBCACABCDDB14假设3阶方阵,,A，,,B。已知2,3AB，求AB。15已知120200561,350350461AB求31AB。16三行列式的计算1.分类：按阶数大小分----低阶、高阶；按元素分----数字、字母。2.典型方法：化成低阶行列式；化成三角形行列式。171314151618111330211232231419111+11111+11111111xxDxx20123455123445123345122345121nababDabba2212111111111naaa其中，每个均不为零。ia23nabbcabDcca245235235235nD25已知m阶方阵A的行列式Aa，n阶方阵B的行列式Bb。求mn阶矩阵OABO的行列式OABO。26第二部分矩阵27一矩阵的代数运算1.运算规律假设122,113。分别求,TT及()Tn。28已知n维向量(,0,,0,),0xxx，记1,TTAEBEx若1BA，求x的值。292.应当注意的问题（1）．矩阵乘法含有零因子，因而乘法消去律不成立；01010N问题snA满足什么条件时，由ABAC就能推出BC？30（2）．矩阵乘法不可交换。假设12nddDd，其中，12,,,nddd互异。nn矩阵A满足什么条件时与D可交换？31一些代数恒等式在矩阵情形不再成立。平方差公式；二项式定理。32设100100A，求nA。问题：什么时候成立？33二.可逆矩阵1.矩阵A可逆的条件(1)A的行列式不为零（非退化）；(2)A秩等于其阶数（满秩）；(3)存在矩阵B，使得AB=E（可逆）；(4)A的特征值均不为零（非奇异）。342.逆矩阵的计算利用伴随矩阵。利用初等变换。求矩阵的逆矩阵：011230312A353.重要性质，如(2).若A可逆，且0k，则111()kAkA；(3).若A可逆，则11()AA；(4).若A可逆，则11()TTAA；(1).11AA；(5).111()ABBA；(6).对于方阵A，若存在矩阵B使得ABE，则A是可逆的，且1AB．36已知223AAEO。(1).证明：A可逆，并求1A；(2).4AE可逆，并求其逆；(3).假设n是正整数，问：AnE何时是可逆的？可逆时，求其逆矩阵。374伴随矩阵(1).伴随矩阵的定义；(2).**AAAAAE；(3).若A可逆，则*1AAA．38已知A是33矩阵，18A，求118*3AA。39已知1111011100110001A，求*A.40假设2n，则1*nAA。41已知*111011001A，求A。42假设A、B是n阶可逆方阵，AOCOB，求*C.435矩阵方程设矩阵210120001A，120112101B求矩阵X使得*12AXAXAB。化成标准形式的矩阵方程。44Lapremiere45三分块矩阵1．块矩阵的乘法规则：假设,ijijsnntAaBb，111211112121222212221212qrqrpppqqqqrAAABBBAAABBBABAAABBB111212122212rrppprCCCCCCCCC其中，1122ijijijiqqjCABABAB46注：分块矩阵的乘法规则的成立小矩阵间的运算要有意义左边的因子的列的分法与右边的因子的行的分法一致。47假设,ijijsnntAaBb：111211122122212211111221111212222111222121122222AABBABAABBABABABABABABABAB几种常用的分块法：48假设,AB分别m阶、n阶可逆矩阵，AMB，求1M。49假设,AB分别mn阶、nm阶方阵，构造矩阵,mmnnEAEAMGBEOE。1.计算MG和GM；2.证明：mnEABEBA。50假设,ijijsnntAaBb：1212(,,,)(,,,)ttABAAAA51已知矩阵方程121111301100100aXbc211311411pXqr。有公共解，试求其公共解，并求参数,,,,,abcpqr。5211112112111(,,,),,,tnnntnnniiiiitiiiibbABbbbbb53已知三阶方阵(,,)A，2A，(2,3,3)B，求B。54假设,,,ABCD都是n阶方阵，且A是可逆的，ABMCD。证明：M可逆当且仅当1DCAB是可逆的。55已知A是三阶方阵，x是三维列向量，2,,xAxAx线性无关，且3232AxAxAx，设2,,PxAxAx。求B使得1APBP，求AE。56四矩阵的秩1．矩阵的秩的定义、三种刻画方式：行（列）向量组的秩；非零子式的最高阶数；齐次线性方程组的基础解系。57讨论矩阵的秩12132212A58讨论矩阵的秩1111xxxxxxAxxxxxx59假设A是sn矩阵，齐次线性方程组0Ax的基础解系中含有t个向量。问：齐次线性方程组0TAy的基础解系中含有多少个向量？60假设A是sn实矩阵，证明：()()TrAArA61（1）．如果矩阵A的秩为r，则A与矩阵rEooo等价。这个矩阵称为A的等价标准形。(2).()snrAr存在可逆矩阵,ssnnPQ，使得rEOAPQOO。2．矩阵的等价标准形62假设nn矩阵A的秩()rAr，证明：存在矩阵B，使得()rBnr且AB可逆。633.矩阵的运算与秩（1）()()TrArA（2）()()()rABrArB（3）()(),()rABrArB（4）()()()snntrABrArBn(5)若snntABO，则()()rArBn.64假设nnA满足2AA，证明：()()rArEAn。65假设()snrAn。1.证明：若ABO，则BO；2.若AXAY，则XY。66假设A是n阶方阵，2n。证明：*()()1()10()1nrAnrArAnrAn若若若67已知矩阵abbAbabbba，并且*()1rA，问：参数,ab应满足什么关系？684.初等变换与初等矩阵(1).初等矩阵的定义、形式；(2).初等变换与矩阵的乘积；69已知44A可逆，交换其第一、三两行得矩阵B，求1AB。70（04年数学一）假设A是3阶方阵，将A的第一列与第二列交换得B，再把B的第二列加到第三列得C，则满足AQC的可逆矩阵Q为（A）010100101，（B）010101001（C）010100011，（D）01110000171设A为(2)nn阶可逆矩阵交换A的.第一行与第二行得矩阵B，**,AB分别表示,AB的伴随矩阵，则（Ａ）交换*A的第一列与第二列得矩阵*B；（Ｂ）交换*A的第一行与第二行得矩阵*B；（Ｃ）交换*A的第一列与第二列得矩阵*B；（Ｄ）交换*A的第一行与第二行得矩阵*B。72向量第三部分73一.概念1.线性组合和线性表示；2.线性相关和线性无关；3.极大无关组和秩741.线性组合和线性表示（1）假设12,,,,s都是n维向量，如果存在数12,,,skkk，使得1122sskkk，则称可以由12,,,s线性表示；（2）如果向量组12,,,t中每个向量都可以由12,,,s线性表示，则称向量组12,,,t可以由12,,,s线性表示；（3）如果12,,,s与12,,,t可以相互线性表示，则称向量组12,,,t与向量组12,,,s等价。75已知13241,0,2,3,1,1,2,1,1,1,3,5,1,2,4,81,1,3,5aab问：(1).,ab取什么数的时候,不能由1234,,,线性表示?(2).,ab取什么数的时候,可以由1234,,,线性表示,且表示的方式唯一?76已知3维列向量12100,1ab,1231112,1,112c.且123,,与12,等价.1.求参数,,abc的值;2.记12123,,,,AB.求一矩阵得X,使得AXB.772.线性相关和线性无关假设12,,,s都是n维向量，如果存在不全为零的数12,,,skkk，使得11220sskkk，则称向量组12,,,s线性相关；如果11220sskkk时必有120skkk则称向量组12,,,s线性无关。78已知123422341123,,,11211aaa线性相关，并且1a，求a的值。79设t,,,21是Ax的线性无关的解向量，