4考研基础复习(线性代数)方程组

考研数学基础知识复习——线性代数第四章线性方程组一、基本内容（概念、性质、定理）对n个方程n个未知数的线性方程组：,,,22112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa1、克莱姆法则：如果系数行列式0||AD，则方程组存在唯一解.一、基本内容（概念、性质、定理）特别：系数行列式0||AD时，方程组的唯一解可表示为：DDx11，DDx22，…，DDxnn.1、克莱姆法则：其中jD是把系数行列式D中的第j列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式.一、基本内容（概念、性质、定理）m个方程n个未知数的方程组,,,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa)(当jb不全为零时，称为非齐次线性方程组；2、线性方程组的基本概念当jb全为零时，称为齐次线性方程组.一、基本内容（概念、性质、定理）记：mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211，nxxxx21，mbbbb21，mjjjjaaa21，nj,,2,1.则上述方程组可表示为：矩阵形式：bAx.2、线性方程组的基本概念向量形式：bxxxnn2211.一、基本内容（概念、性质、定理）mmnmmnnbbbaaaaaaaaabAB21212222111211称为非齐次线性方程组)(的增广矩阵.2、线性方程组的基本概念一、基本内容（概念、性质、定理）若在非齐次线性方程组)(中,jb全为零时,方程组化为与)(对应的齐次线性方程组：2、线性方程组的基本概念000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa，)(一、基本内容（概念、性质、定理）m个方程n个未知数的齐次线性方程组，可表示为：矩阵形式：0Ax.2、线性方程组的基本概念向量形式：02211nnxxx.一、基本内容（概念、性质、定理）（1）齐次线性方程组0xAnm一定有解（至少有零解），当nAr)(时，有唯一解（只有零解）;3、线性方程组解的判定当nrAr)(时，有非零解，且有rn个线性无关的解向量.一、基本内容（概念、性质、定理）（2）对于非齐次线性方程组bxAnm，当)()(bArAr时，方程组无解（不相容）；当rbArAr)()(时，方程组有解.3、线性方程组解的判定并当：nbArAr)()(时，有唯一解；nrbArAr)()(时，有无穷多解；一、基本内容（概念、性质、定理）bxAnm有唯一解0xAnm只有零解bxAnm有无穷多解0xAnm有非零解nAr)(；4、两类方程组解的关系：nrAr)(；一、基本内容（概念、性质、定理）（1）如果21,是0xAnm的解，则21也是0xAnm的解；5、线性方程组解的性质（2）如果是0xAnm的解，则对于任意常数k，k也是0xAnm的解；一、基本内容（概念、性质、定理）由（1）、（2）知：0xAnm的所有解向量组成的n维向量集合S构成一个向量空间，称S为方程组0xAnm的解空间，记为S.5、线性方程组解的性质一、基本内容（概念、性质、定理）（3）如果是bxAnm的一个解，是0xAnm的一个解，则：是bxAnm的解；5、线性方程组解的性质（4）如果21,是bxAnm的两个解，则21是0xAnm的解；一、基本内容（概念、性质、定理）（5）如果s,,,21是bxAnm的s个解，常数skkk,,,21，满足：121skkk，则：5、线性方程组解的性质sskkk2211仍是bxAnm的解；一、基本内容（概念、性质、定理）（1）齐次线性方程组解的结构：若s,,,21是0xAnm的s个线性无关解，而0xAnm的任何一个解均可表示为s,,,21的线性组合，6、线性方程组解的结构则称s,,,21为0xAnm的一个基础解系.一、基本内容（概念、性质、定理）方程组0xAnm的基础解系s,,,21就是方程组0xAnm的解空间S的基.6、线性方程组解的结构方程组0xAnm解空间S的基就称为方程组0xAnm的基础解系.一、基本内容（概念、性质、定理）若nrAr)(，则0xAnm的基础解系包含rn个线性无关的解向量，6、线性方程组解的结构即：方程组0xAnm解空间S的维数为：rnArnSdiv)()(.一、基本内容（概念、性质、定理）若rn,,,21为0xAnm的一个基础解系，则0xAnm的通解为：rnrnkkk2211，其中：rnkkk,,,21为任意常数.6、线性方程组解的结构注：通过例题说明0xAnm的基础解系的求法，一、基本内容（概念、性质、定理）（2）非齐次线性方程组解的结构：6、线性方程组解的结构非齐次线性方程组bxAnm有解时，其任意一个解，均可表示为bxAnm的一个特解与0xAnm的某个解之和.一、基本内容（概念、性质、定理）当非齐次线性方程组bxAnm有无穷多个解时，它的通解可表示为：rnrnkkkx22110.6、线性方程组解的结构其中0为bxAnm的一个特解，rnkkk,,,21为任意常数，rn,,,21为0xAnm的一个基础解系.二、典型题型分析及举例•题型I：基本概念题（解的判定、性质、结构）二、典型题型分析及举例——题型I：基本概念题已知方程组03121232121321xxxaa无解，则a；例4.1二、典型题型分析及举例——题型I：基本概念题设方程组211111111321xxxaaa有无穷多个解，则a.例4.2——题型I：基本概念题（1）已知21,是bAx的两个不同的解，21,对应的齐次方程组0Ax的基础解系，21,kk是任意常数，则bAx的通解为（）.（A）2)(2121211kk；（B）2)(2121211kk；（C）2)(2112211kk；（D）2)(2121211kk；例4.3——题型I：基本概念题设A是n阶矩阵，是n维列向量，若)(0ArArT，则（）.（A）Ax必有无穷多解；（B）Ax必有唯一解；（C）00yxAT仅有零解；（D）00yxAT必有非零解.例4.4——题型I：基本概念题设四元齐次线性方程组)(I为004221xxxx，又已知某齐次线性方程组)(II的通解为：TTkk)1,2,2,1()0,1,1,0(21，求：（1）)(I的基础解系；（2）)(I、)(II有无非零公共解？若有，求出所有非零公共解；若没有，说明理由.例4.5——题型I：基本概念题设bAx是四元齐次线性方程组，3)(Ar，321,,为其解向量，且01231，131232，求方程组的通解.例4.6——题型I：基本概念题已知向量20111，41122，113543，是方程组,53,34,23443221244322114433211dxcxxcxdxbxxbxdxaxaxxa的三个解，求该方程组的通解.例4.7二、典型题型分析及举例•题型II：含参数的线性方程组解的讨论说明：要求掌握齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；掌握非齐次线性方程组有解（无解、唯一解、无穷解）的充分必要条件.——题型II：含参数的线性方程组解的讨论k为何值时，线性方程组4243212321321xxxkxkxxkxxx有唯一解，无解，有无穷多组解？若有解时，求出其全部解.例4.8——题型II：含参数的线性方程组解的讨论讨论为何值时，线性方程组23213213211xxxxxxxxx有解？求其全部解.例4.9——题型II：含参数的线性方程组解的讨论线性方程组3221934443522134321432143214321xxxxaxxxxxxxxxxxx，当a为何值时有解？并求解.例4.10——题型II：含参数的线性方程组解的讨论设101102121tttA，且方程组0Ax的解空间的维数为2，求0Ax的解.例4.11——题型II：含参数的线性方程组解的讨论设有三维列向量1111，1112，1113，20，问取何值时，（1）可由321,,唯一线性表示；（2）可由321,,不唯一线性表示；（3）不能由321,,线性表示.例4.12——题型II：含参数的线性方程组解的讨论设有向量组:)(I20211，41122，22603a；:)(II22811，21302a，at101743；已知)(I是方程组0Ax的基础解系，问t取何值时，)(II也是方程组0Ax的基础解系.例4.13——题型II：含参数的线性方程组解的讨论设3211aaa，3212bbb，3213ccc，则三直线000333222111cybxacybxacybxa（其中3,2,1,022ibaii）交于一点的充分必要条件是：（）.（A）321,,线性相关；（B）321,,线性无关；（C）),(),,(21321rr；（D）321,,线性相关，21,线性无关.例4.14二、典型题型分析及举例•题型III：有关基础解系的证明及其他说明：s,,,21为n元齐次方程组0Ax的基础解系，要求满足：（1）s,,,21均为0Ax的解；（2）s,,,21线性无关；（3）)(Arns.——题型III：有关基础解系的证明及其他方程组000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的系数行列式0||A，而系数矩阵A中某元素的代数余子式0ijA，试证明：TiniiAAA),,,(21是该方程组的一个基础解系.例4.15——题型III：有关基础解系的证明及其他设s,,,21为线性方程组0Ax的一个基础解系，22111tt，322