数学必修二-----单元测试-圆与方程

1单元测评(四)圆与方程(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．点A(2a，a－1)在以点C(0,1)为圆心，半径为5的圆上，则a的值为()A．±1B．0或1C．－1或15D．－15或1解析：由题意，已知圆的方程为x2＋(y－1)2＝5，将点A的坐标代入圆的方程可得a＝1或a＝－15.答案：D2．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相交或相切D．不能确定解析：直线y＝kx＋1过定点(0,1)，而点(0,1)在圆x2＋y2＝1上，所以直线与圆相交或相切．答案：C3．点P(x,2,1)到点A(1,1,2)、B(2,1,1)的距离相等，则x等于()A.12B．1C.32D．2解析：由题意，|PA|＝|PB|，即x－12＋2－12＋1－22＝x－22＋2－12＋1－12，2即x＝1.答案：B4．直线x－y＋4＝0被圆x2＋y2＋4x－4y＋6＝0截得的弦长等于()A．8B．4C．22D．42解析：x2＋y2＋4x－4y＋6＝0化为标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝2.圆心(－2,2)在直线x－y＋4＝0上．∴被截得的弦长为直径22.答案：C5．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围为()A．m＜12B．m＜0C．m＞12D．m≤12解析：∵(－1)2＋12－4m＞0，∴m＜12，故选A.答案：A6．直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，弦AB的中点为D(0,1)，则直线l的方程为()A．x－y＋1＝0B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0D．x＋y－1＝0解析：圆C的圆心坐标为(－1,2)，弦AB中点D(0,1)，∴kCD＝2－1－1－0＝－1，∴kAB＝－1kCD＝1，∴直线l的方程为y－1＝x－0，即：x－y＋1＝0.答案：A37．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－2)2＝2B．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2D．(x＋2)2＋(y－2)2＝2解析：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.如图，当已知圆与所求圆圆心连线垂直于已知直线时，半径最小，此时2r＋32等于已知圆圆心到已知直线的距离，即|6＋6－2|2＝2r＋32，解得：r＝2，则b－6a－6＝1，|a＋b－2|2＝2.解得：a＝2，b＝2.∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.答案：A8．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有()4A．1个B．2个C．3个D．4个解析：(3,3)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝|3×3＋3×4－11|5＝2，而圆的半径为3，故符合题意的点有2个．答案：B9．方程4－x2＝lgx的根的个数是()A．0B．1C．2D．无法确定解析：设f(x)＝4－x，g(x)＝lgx，则方程根的个数就是f(x)与g(x)两个函数图像交点的个数．如图所示，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图像．由图可得函数f(x)＝4－x2与g(x)＝lgx仅有1个交点，所以方程仅有1个根．答案：B10．把圆x2＋y2＋2x－4y－a2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x－4y－4＝0相切，则实数a的值为()A．－3B．3C．－3或3D．以上都不对解析：圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝a2＋7，圆心为(－1,2)，半径5为a2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|32＋－42＝a2＋7－1，解得a＝±3.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是__________．解析：原点O到直线的距离d＝1532＋42＝3，设圆的半径为r，∴r2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x2＋y2＝25.答案：x2＋y2＝2512．过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为__________．解析：由题意知A、B两点在圆上，∴AB的垂直平分线x＝3过圆心，又圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，∴kBC＝－1，∴直线BC的方程为y＝－x＋3，∴圆心坐标为(3,0)，∴r＝2，∴圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.答案：(x－3)2＋y2＝213．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且只有1个公共点，则b的取值范围是__________．6解析：曲线x＝1－y2可化为x2＋y2＝1(x≥0)，它表示单位圆的右半部分，在同一坐标系中画出直线与曲线的图像，如图，相切时b＝－2，其他位置符合条件时需－1＜b≤1.答案：b＝－2或－1＜b≤114．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为__________．解析：设圆心(a,0)(a＞0)，∴|a－1|22＋(2)2＝|a－1|2.∴a＝3.∴圆心(3,0)．∴所求直线方程为x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)求平行于直线3x＋3y＋5＝0且被圆x2＋y2＝20截得长为62的弦所在的直线方程．解：设弦所在的直线方程为x＋y＋c＝0.①则圆心(0,0)到此直线的距离为d＝|c|1＋1＝|c|2.7(6分)因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成直角三角形，所以|c|22＋(32)2＝20.(10分)由此解得c＝±2，代入①得弦的方程为x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0.(12分)16．(12分)已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，(1)直线平分圆；(2)直线与圆相切．解：(1)∵直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m＝0.(4分)(2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，∴d＝|1－1＋m|12＋－12＝|m|2＝2.(8分)m＝±22.(10分)即m＝±22时，直线l与圆相切．(12分)17．(12分)点A(0,2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B、C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．解：设点M(x，y)，因为M是弦BC的中点，故OM⊥BC.(2分)又∵∠BAC＝90°.∴|MA|＝12|BC|＝|MB|.(6分)∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0，8即x2＋(y－1)2＝7.(10分)∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以7为半径的圆．(12分)18．(14分)在三棱柱ABO－A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2.若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．解：如图所示．以三棱柱的O点为坐标原点，以OA，OB，OO′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz.(4分)由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2,0,0)，B(0,2,0)，O(0,0,0)，A′(2,0,2)，B′(0,2,2)，O′(0,0,2)．(8分)由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1)，(10分)设E点坐标为(0,2，z)，根据空间两点间距离公式得|EC|＝0－12＋2－02＋z－12＝z－12＋5，(12分)9故当z＝1时，|EC|取得最小值为5，此时E(0,2,1)为线段BB′的中点．(14分)