华南理工大学高等数学习题册第8章详细答案

院系班级姓名作业编号1第八章重积分作业作业作业作业9999二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质1．利用二重积分的性质,比较下列积分的大小：（1）与2()dDxyσ+∫∫3()dDxyσ+∫∫(a)D是由直线及所围成的闭区域；0,0==yx1=+yx(b)D是由圆周所围成的闭区域．2)1()2(22=−+−yx解：(a)因为在区域内部有，从而大()()231,xyxyxy+++2()dDxyσ+∫∫(b)因为在区域内部有，从而大()()231,xyxyxy+++3()dDxyσ+∫∫（2）与edxyDσ∫∫2edxyDσ∫∫(a)D是矩形闭区域：；10,10≤≤≤≤yx(b)D是矩形闭区域：．10,01≤≤≤≤−yx解：(a)因为在区域内部有，从而大202,1xyxyxyxyee2dxyDeσ∫∫(b)因为在区域内部有，从而大202,10xyxyxyxyeedxyDeσ∫∫（3）与，其中是由三个坐标面与ln(1)dxyzvΩ+++∫∫∫2ln(1)dxyzvΩ+++∫∫∫Ω平面所围成的闭区域．1=++zyx解：因为在区域内部有，从而()112,0ln11xyzexyz++++++，因此大()()20ln1ln1xyzxyz++++++ln(1)dxyzvΩ+++∫∫∫《高等数学》同步作业册22．利用积分的性质，估计下列各积分的值：（1），其中D是矩形闭区域：；()dDIxyxyσ=+∫∫10,10≤≤≤≤yx解：因为在区域内部有，因此()1()2,1xyxyDσ+=02I（2），其中为球体；222ln(1)dIxyzvΩ=+++∫∫∫Ω1222≤++zyx解：因为在区域内部有，()22241ln(1)ln2,3xyzVπ+++Ω=因此40ln23Iπ（3），其中L为圆周位于第一象限的部分；()dLIxys=+∫122=+yx解：因为在曲线上积分，不妨设，cos,sin,2cossin2sin24xtytxytttπ⎛⎞==−≤+=+=+≤⎜⎟⎝⎠，()2sLπ=因此2222Iππ−（4），其中为柱面被平面所截下2221dISxyzΣ=++∫∫Σ122=+yx1,0==zz的部分．解：因为在曲面上积分，从而，，2221112xyz≤≤++()2SπΣ=因此2Iππ院系班级姓名作业编号3作业作业作业作业10101010二重积分的计算二重积分的计算二重积分的计算二重积分的计算1．试将二重积分化为两种不同的二次积分，其中区域D分别为：(,)dDfxyσ∫∫（1）由直线及双曲线所围成的闭区域；3,==xxy1=xy解：作图得知区域D可以表示为：，113,xyxx≤≤≤≤得()311(,)d,xDxfxydxfxydyσ=∫∫∫∫区域D也可以分块表示为：111,3;13,33yxyyxy≤≤≤≤≤≤≤≤从而()()13331113(,)d,,Dyyfxydyfxydxdyfxydxσ=+∫∫∫∫∫∫（2）环形闭区域：．4122≤+≤yx解：在极坐标下环形闭区域为4122≤+≤yx12,02rθπ≤≤≤≤从而()2201(,)dcos,sinDfxydfrrrdrπσθθθ=∫∫∫∫在直角坐标下环形闭区域需分块表达，分块积分变为4122≤+≤yx()()222222221411142421114414,,xxxxxxxxIdxfxydydxfxydydxfdydxfdy−−−−−−−−−−−−−−−−=+++∫∫∫∫∫∫∫∫2．改换下列二次积分的积分次序（填空）：（1）；2220d(,)dyyyfxyx=∫∫()402,xxdxfxydy∫∫（2）；22212d(,)dxxxxfxyy−−=∫∫()211102,yydyfxydx+−−∫∫（3）．12330010d(,)dd(,)dyyyfxyxyfxyx−+=∫∫∫∫()2302,xxdxfxydy−∫∫3．画出积分区域，并计算下列二重积分：（1），其中D是由两条抛物线所围成的闭区域；dDxyσ∫∫2,xyxy==《高等数学》同步作业册4解：作图，原式=2111311534400022463311555xxxxdxxydyxxdxx⎛⎞⎛⎞=−=−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫∫∫（2），其中D是由所确定的闭区域；edxyDσ+∫∫1≤+yx解：作图，原式=011111011xxxyxyxxdxedydxedyee+−++−−−−+=−∫∫∫∫（3），其中D是由不等式所围成的闭区域；()22dDxyσ−∫∫0sin,0πyxx≤≤≤≤解：作图，原式=sin2223200019()(sinsin)434xdxxydyxxxdxπππ−=−=−∫∫∫（4），其中D是顶点分别为的三角形闭区域．cos()dDxxyσ+∫∫(0,0),(π,0),(π,π)解：作图，原式=0003cos()(sin2sin)2xxdxxydyxxxdxπππ+=−=−∫∫∫4．求由曲线所围成的闭区域的面积．)0,(2,22222+−=+=qpqqxyppxy解：曲线方程联立，得2222,,2qppxpqxqxypq−+=−+==±作图知，原式=()22222222222223qypqpqqpqpqypppqqyypdydxdypqqp−−−−+⎛⎞−−=−=⎜⎟⎝⎠∫∫∫5．求由四个平面所围柱体被平面及1,1,0,0====yxyx0=z632=++zyx所截得的立体的体积．解：四个平面决定的区域D为：1,1,0,0====yxyx01,01xy≤≤≤≤在区域D内部()()6236230zxy=−+−+从而所截得的立体的体积()()1100623623DVxydvdyxydx=−−=−−∫∫∫∫()107532ydy=−=∫6．化下列二次积分为极坐标系下的二次积分：（1）1100d(,)dyfxyx=∫∫()()()111cossin242000004cos,sincos,sincos,sindfrrrdrdfrrrdrdfrrrdrπππθθπθθθθθθθθθ++∫∫∫∫∫∫院系班级姓名作业编号5（2）；23220d()dxxyfxyy+=∫∫()23sin04cos,sindfrrrdrπθπθθθ∫∫7．利用极坐标计算下列积分：（1），其中D是由圆周所围成的闭区域；22edxyDσ+∫∫422=+yx解：D是圆周，即422=+yx02,02rθπ≤≤≤≤从而()222222240001ed212xyrrDderdreeπσθππ+==⋅=−∫∫∫∫（2），其中是由圆所围成的闭区域；()dDxyσ+∫∫Dyxyx+=+22解：D是圆周围成，22xyxy+=+知其为30cossin2sin,444rππθθθθπ⎛⎞≤≤+=+−≤≤⎜⎟⎝⎠从而原式=()2sin344204cossindrd2sin4Drrdrdrπθπππθθθθθ⎛⎞+⎜⎟⎝⎠−⎛⎞+=+⎜⎟⎝⎠∫∫∫∫3442404148312sin2sin34334222dtdtππππππθθ−⎡⎤⎛⎞=+=⋅=⋅⋅⋅=⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫∫（3），D是与所dDyσ∫∫xyxαβ≤≤2222byxa≤+≤()0,0baαβ确定的闭区域；解：D是圆环的关于原点对称的两部分，，与arb≤≤arctanarctanαθβ≤≤arctanarctanπαθπβ+≤≤+从而原式=arctanarctan22arctanarctansindrdsinsinbbDaarrdrdrdrdrβπβαπαθθθθθθ++⋅=+∫∫∫∫∫∫33arctanarctanarctanarctancoscos033bbaarrβπβαπαθθ++=−⋅+−⋅=（由对称性更简单：因为，对称点的积分微元反号）()(),,xyDxyD∈⇒−−∈（4），其中D是介于两圆和之间的闭区域．dDxσ∫∫xyx222=+xyx422=+解：D介于两圆之间，可知2cos4cos22rππθθθ≤≤⇒−≤≤《高等数学》同步作业册6从而原式=()4cos22242cos221cosdrdcos648cos3Drrdrdrdππθππθθθθθθθ−−⋅==−∫∫∫∫∫2411211231cos733422dππθθπ==⋅⋅⋅=∫8．用适当的坐标计算下列积分：（1），其中是由直线，，，22()dDxyσ+∫∫Dxy=axy+=ay=（）所围成的闭区域；ay3=0a解：作图知由直角坐标表达方便，D3,ayayaxy≤≤−≤≤22()dDxyσ+∫∫()()33332223yaaayaayyadyxydxaydy−⎛⎞−−=+=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠∫∫∫()3444444344444132218219123121232aayyaayaaaaa⎛⎞−−⎛⎞−−=+=+−+=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠（2），其中是由圆周所围成的闭区域；222dDRxyσ−−∫∫DRxyx=+22解：由表达式由极坐标表达方便，，D0cos,22rRππθθ≤≤−≤≤原式=()cos222222330022drdsin13RDRrrdRrrdrRdππθπθθθθ−−=−=−−∫∫∫∫∫2333302224sin3233239RdRRππππθθ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟=−−=−−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∫（3），D：；dDxyσ∫∫()()11122≤−+−yx解：先作坐标轴平移，再用极坐标1cos,1sin,,01,02uxrvyrddudvrdrdrθθσθθπ=−==−=⇒==≤≤≤≤原式=()1dudv=Duvuv+++∫∫()21200sincoscossin1drrrdrπθθθθθ⎡⎤+++⎣⎦∫∫()()2220011111sincoscossinsinsincos432832dππθθθθθθθθθπ⎛⎞⎛⎞=+++=+−+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫院系班级姓名作业编号7（4），D：．2222dDxyabσ+∫∫12222≤+byax解：用广义极坐标cos,sin,01,02xarybrdabrdrdrθθσθθπ==⇒=≤≤≤≤原式=12130002233rdrrdrππθπ=⋅=∫∫《高等数学》同步作业册8作业作业作业作业11111111三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算三重积分的概念与计算1．试将三重积分化为三次积分，其中积分区域分别为：(,,)dfxyzvΩ∫∫∫Ω（1）由双曲抛物面及平面所围的闭区域zxy=0,01==−+zyx；(,,)dfxyzvΩ=∫∫∫()11000,,xyxdxdyfxyzdz−∫∫∫（2）由曲面及所围的闭区域222yxz+=22xz−=．(,,)dfxyzvΩ=∫∫∫()()2222212cos001sincos,sin,rrdrdrfrrzdzπθθθθθ−+∫∫∫2．计算下列三重积分：（1），其中为平面，所围31d(1)vxyzΩ+++∫∫∫Ω0,0,0===zyx1=++zyx成的四面体；解：分析边界作图知为，Ω01,01xyx≤≤≤≤−01zxy≤≤−−原式=1111132000001111(1)24(1)xyxxdxdydzdxdyxyzxy−−−−⎛⎞−=−⎜⎟+++++⎝⎠∫∫∫∫∫101111ln252421216xdxx−−⎛⎞=+−=−⎜⎟+⎝⎠∫（2），其中是由曲面与平面所围的闭23dddxyzxyzΩ∫∫∫Ωzxy=0,1,===zxyx区域；解：分析边界作图知为，Ω01,0xyx≤≤≤≤0zxy≤≤原式=111235612000000111428264xyxxdxdyxyzdzdxxydyxdx===∫∫∫∫∫∫（3），其中是由平面及抛物柱面所围的dddxzxyzΩ∫∫∫Ω0,1,===zyyx2zx=闭区域．解：分析边界作图知为，Ω01,0yxy≤≤≤≤20zx≤≤原式=21115600000011121284yyxdydxxzdzdyxdxydy===∫∫∫∫∫∫院系班级姓名作业编号93．利用柱面坐标计算下列