材料力学第7章-弯曲刚度-370005992

材料力学(6)2020年4月10日返回总目录清华大学出版社TSINGHUAUNIVERSITY第7章梁的变形分析与刚度问题基础篇之七材料力学下一章上一章返回总目录TSINGHUAUNIVERSITY梁的变形与梁的位移叠加法确定梁的挠度与转角简单的静不定梁结论与讨论梁的刚度问题梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题TSINGHUAUNIVERSITY梁的变形与梁的位移第7章梁的位移分析与刚度问题返回返回总目录TSINGHUAUNIVERSITY梁的曲率与位移挠度与转角的相互关系梁的位移分析的工程意义梁的变形与梁的位移第7章梁的位移分析与刚度问题TSINGHUAUNIVERSITY梁的变形与梁的位移第7章梁的位移分析与刚度问题xCx在平面弯曲的情形下，梁上的任意微段的两横截面绕中性轴相互转过一角度，从而使梁的轴线弯曲成平面曲线，这一曲线称为梁的挠度曲线（deflectioncurve）。梁的曲率与位移MeMexwxC'弯曲后轴线的曲率中心MeMeCTSINGHUAUNIVERSITY梁的变形与梁的位移第7章梁的位移分析与刚度问题MeMexwxC'弯曲后轴线的曲率中心Cxxxxw(x)wMeMe弯曲后轴线的曲率中心TSINGHUAUNIVERSITY根据上一章所得到的结果，弹性范围内的挠度曲线在一点的曲率与这一点处横截面上的弯矩、弯曲刚度之间存在下列关系：EIM＝1梁的变形与梁的位移第7章梁的位移分析与刚度问题梁的曲率与位移xxxxw(x)wMeMe弯曲后轴线的曲率中心TSINGHUAUNIVERSITY梁的变形与梁的位移第7章梁的位移分析与刚度问题MeMexwC'C梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置的改变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：横截面形心处的铅垂位移，称为挠度（deflection），用w表示；变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角度，称为转角（slope），用表示；梁截面的三种位移横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平位移（horizontaldisplacement），用u表示。TSINGHUAUNIVERSITY在Oxw坐标系中，挠度与转角存在下列关系：在小变形条件下，挠度曲线较为平坦，即很小，因而上式中tan。于是有tanddxwxwddw＝w（x），称为挠度方程（deflectionequation）。梁的变形与梁的位移第7章梁的位移分析与刚度问题挠度与转角的相互关系xxxw(x)wMeMexTSINGHUAUNIVERSITY梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题返回返回总目录TSINGHUAUNIVERSITY梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题小挠度微分方程小挠度微分方程的积分与积分常数的确定TSINGHUAUNIVERSITY力学中的曲率公式数学中的曲率公式EIM123222dd1dd1xwxw梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题小挠度微分方程xxx弯曲后轴线的曲率中心TSINGHUAUNIVERSITY小挠度情形下对于弹性曲线的小挠度微分方程，式中的正负号与w坐标的取向有关。2d1dwx22322dd1d1dwxwxEIMxw22dd梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题小挠度微分方程xxx弯曲后轴线的曲率中心EIM1TSINGHUAUNIVERSITYEIMxw22ddEIMxw22dd00dd22Mxw,00dd22Mxw,梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题小挠度微分方程TSINGHUAUNIVERSITY采用向下的w坐标系，有EIMxw22dd梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题小挠度微分方程TSINGHUAUNIVERSITYEIMxw22dd对于等截面梁，应用确定弯矩方程的方法，写出弯矩方程M(x)，代入上式后，分别对x作不定积分,得到包含积分常数的挠度方程与转角方程：dddlMxwxCxEIDCxxxEIxMwlldd其中C、D为积分常数。梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题小挠度微分方程TSINGHUAUNIVERSITY梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于零：w=0;小挠度微分方程的积分与积分常数的确定BAFPC4lEI34lxww=0w=0TSINGHUAUNIVERSITY梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题ABql积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：小挠度微分方程的积分与积分常数的确定在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零：w=0，θ＝0。w=0θ=0TSINGHUAUNIVERSITY梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束条件是指约束对于挠度和转角的限制：小挠度微分方程的积分与积分常数的确定BAFPC4lEI34lxw连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及分布载荷间断处，两侧的挠度、转角对应相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。w1=w2θ1=θ2TSINGHUAUNIVERSITY例题求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。已知：简支梁受力如图所示。FP、EI、l均为已知。梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题BAFPC4lEI34lTSINGHUAUNIVERSITY解：1．确定梁约束力因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。2．分段建立梁的弯矩方程在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力3FP/4和荷载FP。梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题BAFPC4lEI34lP34FP14FTSINGHUAUNIVERSITYAB段解：2．分段建立梁的弯矩方程BC段于是，AB和BC两段的弯矩方程分别为1P3044lMxFxx2PP3444llMxFxFxxl－－梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题BAFPCP34FP14F3/4l/4lEIxOwTSINGHUAUNIVERSITY解：3．将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分211P2d30d44wlEIMxFxxx1P3044lMxFxx2PP3444llMxFxFxxl－－222PP2d3d444wllEIMxFxFxxlx＝－－＋－梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题BAFPCP34FP14F3/4l/4lEIxOwTSINGHUAUNIVERSITY解：3．将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分积分后，得12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI－＋＝－113P181DxCxFEIw332PP2211864lEIwFxFxxCD＝－＋－梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题BAFPCP34FP14F3/4l/4lEIxOw21P2d30d44wlEIFxxx22PP2d3d444wllEIFxFxxlx－＋－x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2，1=2TSINGHUAUNIVERSITY一种更简洁的方案积分后，得12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI－＋＝－113P181DxCxFEIw332PP22118644lEIwFxFxCDlx＝－＋－梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题BAFPCP34FP14F3/4l/4lEIxOw21P2d30d44wlEIFxxx22PP2d3d444wllEIFxFxxlx－＋－x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2，1=2TSINGHUAUNIVERSITY解：4．利用约束条件和连续条件确定积分常数在支座A、C两处挠度应为零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等，即x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题BAFPxOwCP34FP14F3/4l/4lwBθCθAEITSINGHUAUNIVERSITY解：4．利用约束条件和连续条件确定积分常数12P183CxFEI22P2P242183ClxFxFEI－＋＝－113P181DxCxFEIw223P3P246181DxClxFxFEIw－＋＝－x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2D1＝D2=02P211287lFCC＝梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题TSINGHUAUNIVERSITY解：5．确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：22P378128FxxlEIAB段BC段xlxEIFxw23P128781222P317824128FlxxxlEIxllxxEIFxw233P128746181据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为EIlFwB3P25632P7128AFlEI2P5128BFlEI－梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题BAFPxOwCP34FP14F3/4l/4lwBθCθAEITSINGHUAUNIVERSITY梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题M0ACBll1、有几个约束力？怎样确定这些约束力？3、怎样利用约束条件和连续条件确定积分常数？2、应用小挠度微分方程确定梁的挠度方程，需要分成几段积分？TSINGHUAUNIVERSITY确定约束力,判断是否需要分段以及分几段分段建立挠度微分方程微分方程的积分利用约束条件和连续条件确定积分常数确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角积分法小结分段写出弯矩方程梁的小挠度微分方程及其积分第7章梁的位移分析与刚度问题TSINGHUAUNIVERSITY叠加法确定梁的挠度与转角第7章梁的位移分析与刚度问题返回返回总目录TSINGHUAUNIVERSITY叠加法的基本思想复杂问题→若干个简单问题的叠加先决条件：线性问题。在线弹性、小变形条件下，梁的弯曲变形问题，是线性问题。叠加法确定梁的挠度与转角第7章梁的位移分析与刚度问题xxx弯曲后轴线的曲率中心EIMxw22