3.9-均匀球面波(2学时)

3-9各向均匀的球面波球面波——波阵面为一系列同心的球面。各向均匀球面波，等相位面为球面且等相位面上振幅值相同。第三章理想流体介质中小振幅波的基本规律各向均匀球面波3-9-1波动方程及传播特性用速度势函数描述声场),(),,,(trtzyx定义为：速度势函数满足波动方程。),(),(trtru),(tr0),(1),(22202ttrctr取球坐标系。22222222),(sin11)),((sinsin1)),((1),(trrtrrrtrrrrtr0),(1),(sin11)),((sinsin1)),((122202222222ttrctrrtrrrtrrrr球坐标系下，拉普拉兹算符为：所以，波动方程在球坐标系下的表示为：),,(ro3-9-1波动方程及传播特性若为球面波；取球坐标，并使坐标原点与球面波球心重合；则，波场函数与坐标变量，无关。即：),(),,,(),(trtrtr),,(ro则：;00所以，波动方程化为：01)),((1222022tcrtrrrr若r≠0，有：0)],([1)],([222022trrtctrrr这是球面波的波动方程3-9-1波动方程及传播特性它是达朗贝尔方程，其解为：)()(),(0201tcrftcrftrr（达朗贝尔解）)(1)(1),(0201tcrfrtcrfrtr若无收敛波，则项略去。)(102tcrfr)(1),(01tcrfrtr分析：前一项为向r正向传播的波；扩张波后一项为向r负向传播的波；收敛波只讨论扩张波，有：3-9-1波动方程及传播特性根据速度势函数和声压及振速之间的关系，可推出：)()]([1),(0100010tcrfrctcrftrtrprrretcrfrtcrfretcrfrretrrtrtru)(1)(1)](1[),(),(),(0120101,球坐标矢径方向的单位向量re3-9-1波动方程及传播特性结论1：1、声压的幅值随传播距离衰减；2、质点振速与声压的信号波形不同；但在r足够大后，质点振速表达式中的后一项相对前一项小得多，而可略去时，可以认为质点振速与声压的波形相同。)(),(0100tcrfrctrpretcrfrtcrfrtru)(1)(1),(01201和平面波不同！3-9-1波动方程及传播特性3-7-2简谐均匀扩张球面波谐和律振动是指振动的时间函数为简谐函数（正余弦函数）令谐和律振动的均匀球面波是指，等相位面为球面，并且，在等相位面上振幅均匀（相同）。其声压函数的波动方程可写为：（见前）0)],([1)],([22202trrptctrrprterptrpj)(),(~代入上式，得：;0)]([)]([222rrpkdrrrpd0ck综上，谐和律振动的均匀球面波声压函数为：)j()j(11),(krtkrtBerAertrp前一项向r正方向传播的波，是扩张波；随时间增加，等相位面逐渐扩大。后一项向r负方向传播的波，是收敛波；随时间增加，等相位面逐渐缩小。krkrBeAerrpjj)(其解为：reBeAeerptrptkrkrt/)()(),(~jjjj所以：3-7-2谐和律振动的均匀扩散球面波3-7-2谐和均匀扩张球面波的性质（1）声压场和振速场)j(),(krterAtrp声压：振速：rkrtrkrtrkrtrkrtkrtreekrkrrcAeekrcrAeekrrAdteerkerAdterptru)j(00)j(00)j(0)j()j(200jj111j11jjj11)j1(1),(（狭义球面波）结论1：见前（2）均匀扩张球面波的波阻抗：j220000)j(00)j(j)(1j)(j1j)jj1(),(~),(~eZXRkrkrkrcckrkrekrkrrcAerAtrutrpZaaakrtkrta2200)(1)(krkrcRa波阻200)(1krkrcXa波抗结论2：均匀扩张球面波的波阻抗不是常数，与平面行波的波阻抗不同！当kr值很大时，均匀扩张球面波波阻抗和平面波波阻抗近似相等。3-7-3谐和均匀扩张球面波的性质可见，当kr1时，波抗趋于0，波阻趋于介质的特性阻抗；即，kr1时，均匀扩张球面波的波阻抗趋于介质的特性阻抗。（平面行波的波阻抗为介质的特性阻抗）00c均匀扩张球面波的波阻和波抗随kr的变化规律00c3-7-3谐和均匀扩张球面波的性质cos)(1)(1)(1002002200ckrkrckrkrkrcZa波阻抗的模值波阻抗的相角3-7-3谐和均匀扩张球面波的性质)1arctan(j)arg(krkr（3）均匀扩张球面波的声压和质点振速的相速度谐和均匀扩张球面波的声压函数：)j(),(krterAtrp所以，声压的等相位面函数为：声压的等相位面移动速度（相速度）为：)(00ckdtdrckdrdtkrtckdtdrcpppp常数常数结论3：均匀扩散球面波的声压相速度等于介质的波速c0。常数krtp3-7-3谐和均匀扩张球面波的性质谐和均匀扩张球面波的振速函数：)j(),(),(krtaaeZrAZtrptru)1arctan(;)(1)(12200krkrkrkrcZa其中，所以，振速的等相位面函数为：振速的等相位面移动速度（相速度）为：常数krtu常数udtdrcu3-7-3谐和均匀扩张球面波的性质常数krtu0dkdrdt222)(1)(1)1()1(11)}1{arctan(krkdrkdrkrkrkrdd而，所以，2222)(1)()(10))(1(krkrkdrkrkdrkdrdtkrkdrkdrdt])(11[)()(1))(1)((2022022krckrkrckrkrkdtdrcuu常数3-7-3谐和均匀扩张球面波的性质结论4：振速的相速度在近场区比声压的相速度快，而在远场（kr1），振速的相速度与声压的相速度趋于一致，为c0；声压的相速度和振速的相速度随kr的变化规律3-7-3谐和均匀扩散球面波的性质（4）均匀扩张球面波的声能流密度和声强rrrarkrtakrtrecrAkrtcrAekrtcrAekrtZrAkrtrAeeZrAerAetrutrptr211])(2cos[21cos1cos)(2cos21cos1)cos()cos(ReRe),(),(),(0022002200221)j(1)j(声能流密度：)1arctan(cos00krcZa3-7-3谐和均匀扩张球面波的性质均匀扩张球面波的声强：2002002212),(2111),()(rctrpcrAdtupTtrrITo3-7-3谐和均匀扩张球面波的性质结论5：均匀扩张球面波的声强随着距离的平方衰减。不同空间位置声压、质点振速和声能流的时间变化函数3-7-3谐和均匀扩张球面波的性质不同空间位置声压、质点振速和声能流的时间变化函数3-7-3谐和均匀扩张球面波的性质不同空间位置声压、质点振速和声能流的时间变化函数3-7-3谐和均匀扩张球面波的性质不同时刻声压、质点振速和声能流函数的空间分布3-7-3谐和均匀扩张球面波的性质1、声压的幅值随传播距离衰减；质点振速与声压的信号波形不同；但在r足够大后，可以认为质点振速与声压的波形相同。2、均匀扩张球面波的波阻抗不是常数，与平面行波的波阻抗不同！当kr值很大时，均匀扩张球面波波阻抗和平面波波阻抗近似相等。3、均匀扩张球面波的声压相速度等于介质的波速c0。4、振速的相速度在近场区比声压的相速度快，而在远场（kr1），振速的相速度与声压的相速度趋于一致，为c0；5、均匀扩张球面波的声强随着距离的平方衰减。均匀扩张球面波的特点总结：3-7-4球面波在两种介质分界面上的反射和折射此问题可用波动声学严格求解：利用波场的平（柱）面波展开求解。用数学上的广义富氏积分变换，较为繁复。但在一定条件下可用射线声学（几何声学）求解，此条件是：声源和接收点（考查的场点）距反射面的距离比波长大许多。用射线声学求解（镜面反射法）M点观察，声源s在界面上的反射场如同虚源s’在M点的场，虚源s’在声源s的‘镜像’位置。---镜像法。S(0,z0)Z=01RR)(0,-zS0R),M(R1z)()(1),,(RktjkRtjeRBeRAtzRp2021)(zzRR2021)(zzRRM点声场为：其中：A、B的值由界面上的边界条件确定。3-7-4球面波在两种介质分界面上的反射和折射若，界面为绝对软；则，0|),,(01ztRzpBAeRBeRAtzRppzRktjzkRtjz0||),0,(0|~0)(0)(101（绝对软界面，不能承受压力；例，流体/真空界面；一般，水/空气界面在研究水中波场时近似为绝对软界面。）有：]11[),,()()(11RktjkRtjeReRAtzRp在声辐射章节中，可知，此为‘偶极子’辐射声场。（水中水面附近声源在水中的声场。）3-7-4球面波在两种介质分界面上的反射和折射又若，界面为绝对硬；则：0|~01znu（绝对硬界面，界面不能运动，界面上质点的法向振速为0。）000101|])()([|)]()([|)),,((|zRjkjkRtjzRjkjkRtjzznzRReRBzRReRAejRezBRezAejjtzRpzu2021)(zzRR2021)(zzRR其中，据尤拉公式，得：3-7-4球面波在两种介质分界面上的反射和折射00)()(zRjkzjkRReRReR00||zzzRzR2021)(zzRR2021)(zzRR因为，BABAzRReRBzRReRAuzRjkjkRzn;0)(;0|])()([;0|001所以，3-7-4球面波在两种介质分界面上的反射和折射；有，]11[),,()()(11RktjkRtjeReRAtzRp此为‘同性极子’辐射声场。（空气中水面附近声源在空气中的声场。）3-7-4球面波在两种介质分界面上的反射和折射