初三数学中考复习：二次函数中特殊三角形的存在问题(含答案)

特殊三角形存在性问题一、等腰三角形存在性问题【例4】如图，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(－1，0)，C(0，3)．(1)求抛物线的解析式．解：把A(－1，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋mx＋n，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)判断△ACD的形状，并说明理由．先确定点D的坐标，求出△ACD的各边长，然后判断△ACD的形状．解：△ACD是等腰三角形．由(1)知，抛物线的对称轴为x＝1，∴D(1，0)．∵A(－1，0)，C(0，3)，∴AD＝2，AC＝＝，CD＝＝.∴AC＝CD.∴△ACD是等腰三角形．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．先找出所有符合条件的点，然后再求线段长确定P点坐标．解：由(2)知CD＝.∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1＝DP2＝DP3＝CD.过点C作CM垂直对称轴于M，∴MP1＝MD＝3.∴DP1＝6.∴符合条件的点P的坐标为(1，6)，(1，)，(1，－)．(4)点P是线段BC上的一动点，是否存在这样的点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标，如果不存在，请说明理由．先求出BC的解析式，分三种情况讨论计算出m.解：∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.设点P(m，－m＋3)(m＞0)．∵C(0，3)，D(1，0)，∴CP2＝2m2，DP2＝(m－1)2＋(－m＋3)2，CD2＝10.∵△PCD是等腰三角形：①当CP＝DP时，则CP2＝DP2.∴2m2＝(m－1)2＋(－m＋3)2.∴m＝.∴P1.②当CP＝CD时，则CP2＝CD2.∴2m2＝10.∴m＝或m＝－(舍去)．∴P2(，3－)．③当DP＝CD时，则DP2＝CD2.∴(m－1)2＋(－m＋3)2＝10.∴m＝4或m＝0(舍去)．∴P3(4，－1)．综上所述，符合条件的点P的坐标为，(，3－)或(4，－1)．(5)设抛物线的顶点为E，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PEC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．分“以CE为底”和“以CE为腰”两种情况讨论．利用腰长相等列关系式，再结合抛物线解析式，求出点P的坐标．解：由(1)知，E点坐标为(1，4)，对称轴为直线x＝1.①若以CE为底边，则PE＝PC.设点P的坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y－4)2＝x2＋(3－y)2，即y＝4－x.又∵点P(x，y)在抛物线上，∴4－x＝－x2＋2x＋3.解得x＝.∵＜1，应舍去．∴x＝，y＝4－x＝.即点P的坐标为.②若以CE为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线的对称性可知，点P与点C关于直线x＝1对称，此时P点坐标为(2，3)．综上所述，符合条件的点P坐标为或(2，3)．关于等腰三角形找点(作点)和求点的方法①等腰三角形找点(作点)方法：以已知边为边长，作等腰三角形，运用“两圆一线法”，在图上找出存在点的个数.问题找点等腰三角形已知点A，B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形分别以点A，B为圆心，以线段AB长为半径作圆，再作线段AB的垂直平分线，两圆和垂直平分线与l的交点即为所有要求的P点②等腰三角形求点方法：以已知边为边长，在抛物线或坐标轴或对称轴上找点，与已知点构成等腰三角形，先设所求点的坐标，然后求出三点间的线段长度，分不同顶点进行讨论．二、直角三角形的存在性问题【例5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；解：把A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋2x＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.设AC的解析式为y＝kx＋3.把A(－1，0)代入解析式，得k＝3.∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.(2)动点E在y轴上移动，当△EAC是以AC边为直角边的直角三角形时，求点E的坐标．解：设E的坐标为(0，t)．AC2＝OA2＋OC2＝12＋32＝10，EA2＝OA2＋OE2＝12＋t2，CE2＝(3－t)2.在Rt△EAC中，AC2＋EA2＝CE2，∴10＋(12＋t2)＝(3－t)2，解得t＝－.∴点E的坐标为.(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．分直角顶点在点A处和点C处两种情况讨论．解：存在．①直角顶点在点C处．如图，过点C作CQ⊥AC交x轴于点Q，△ACQ为直角三角形．又∵CO⊥AQ，∴△COA∽△QOC.∴＝.∵A(－1，0)，C(0，3)，∴OA＝1，OC＝3.∴＝.∴OQ＝9.∴Q(9，0)．由C(0，3)，Q(9，0)可求出直线CQ的解析式为y＝－x＋3.联立方程解得x1＝0(舍去)，x2＝.当x＝时，y＝.∴P1.②直角顶点在点A处．如图，过点A作AP2∥CQ交抛物线于点P2.设直线AP2的解析式为y＝－x＋b，把A(－1，0)代入解析式，得－×(－1)＋b＝0，∴b＝－.∴直线AP2的解析式为y＝－x－.联立方程解得x1＝－1(舍去)，x2＝，当x＝时，y＝－.∴P2.综上所述，符合条件的点P的坐标为或.(4)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．分直角顶点在点B处、点C处和点P处三种情况讨论．解：设点P(1，m)，B(3，0)，C(0，3)．∴BC2＝18，PB2＝(1－3)2＋m2＝m2＋4，PC2＝12＋(m－3)2＝m2－6m＋10.①当以点C为直角顶点时，BC2＋PC2＝PB2，即18＋(m2－6m＋10)＝m2＋4，解得m＝4.②当以点B为直角顶点时，BC2＋PB2＝PC2，即18＋(m2＋4)＝m2－6m＋10，解得m＝－2.③当以点P为直角顶点时，PB2＋PC2＝BC2，即m2＋4＋(m2－6m＋10)＝18，解得m1＝，m2＝.综上，存在点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形为直角三角形，点P的坐标为(1，4)，(1，－2)，，.（5）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC，BC于点M，N.问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．分三种情况进行讨论：①∠PMN＝90°，PM＝MN；②∠PNM＝90°，PN＝MN；③∠MPN＝90°，PM＝PN.解：存在．设M，N的纵坐标为m，由B(3，0)，C(0，3)可求出直线BC的解析式为y＝－x＋3.∴M，N(3－m，m)①当∠PMN＝90°，PM＝MN时，如图1所示，∵MN＝，PM＝m，∴＝m，解得m＝，则P的横坐标为－.∴P.②当∠PNM＝90°，PN＝MN时，同理可得P.③当∠MPN＝90°，PM＝PN时，作MN的中点Q，连接PQ，则PQ＝m.又∵PM＝PN，∴PQ⊥MN.则MN＝2PQ，即＝2m，解得m＝，点P的横坐标为＝＝.∴P.综上，存在点P使得△PMN是等腰直角三角形，点P的坐标为，或.关于直角三角形找点和求点的方法①找点：以已知边为边长，作直角三角形，运用两线一圆法，在图上找出存在点的个数．所谓的“两线”就是指以已知边为直角边，过已知边的两个端点分别作垂线与抛物线或坐标轴或对称轴的交点，就是所求的点；“一圆”就是以已知边为直径，以已知边的中点作圆，与抛物线或坐标轴或对称轴的交点即为所求的点．②求点：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1·k2＝－1；以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用三角形相似求解，或者三条边分别用代数式表示之后，利用勾股定理求解．1．(2018·潍坊)如图1，抛物线y1＝ax2－x＋c与x轴交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C，抛物线y1的顶点为G，GM⊥x轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y2.(1)求抛物线y2的解析式；(2)如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P为抛物线y1上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y2于点Q，点Q关于直线l的对称点为R.若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．解：(1)根据题意，得解得a＝－，所以，抛物线y1的解析式为y1＝－x2－x＋.∵抛物线y1平移后得到抛物线y2，且顶点为B(1，0)，∴抛物线y2的解析式为y2＝－(x－1)2，即y2＝－x2＋x－.(2)抛物线y2的对称轴l为x＝1，设T(1，t)，已知A(－3，0)，C，过点T作TE⊥y轴于E，连接TC，TA，则TC2＝TE2＋CE2＝12＋＝t2－t＋，TA2＝TB2＋AB2＝t2＋(1＋3)2＝t2＋16，AC2＝.当TC＝AC时，即t2－t＋＝，解得t1＝，t2＝；当TA＝AC时，得t2＋16＝，无解；当TA＝TC时，得t2－t＋＝t2＋16，解得t3＝－.综上所述，在抛物线y2的对称轴l上存在点T，使△TAC是等腰三角形，此时T点的坐标为T1，T2，T3.(3)设P，则Q.∵Q，R关于x＝1对称，∴R.情况一：当点P在直线l的左侧时，PQ＝－m2－m＋－＝1－m，QR＝2－2m.又因为以P，Q，R构成的三角形与△AMG全等，当PQ＝GM且QR＝AM时，m＝0，可求得P，即点P与点C重合．∴R.设PR的解析式为y＝kx＋b，则有解得k＝－，即PR的解析式为y＝－x＋.当PQ＝AM且QR＝GM时，无解．情况二：当点P在直线l右侧时，P′Q′＝－m2＋m－－＝m－1，Q′R′＝2m－2，同理可得P′，R′.P′R′的解析式为y＝－x－.综上所述，PR的解析式为y＝－x＋或y＝－x－.2.(2018·海南)如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3交x轴于点A(－1，0)和点B(3，0)．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D(2，3)在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点(点P不与点A，B重合)，过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ，DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．解：(1)根据题意，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)①如答图1，连接CD，∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴F(1，4)．∵C(0，3)，D(2，3)，∴CD＝2，且CD∥x轴．∴S四边形ACFD＝S△ACD＋S△FCD＝CD×(yF－yA)＝×2×4＝4.②∵点P在线段AB上，∴∠DAQ不可能为直角．∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ＝90°或∠AQD＝90°，如答图2所示．Ⅰ.当∠ADQ＝90°时，则DQ⊥AD.∵A(－1，0)，D(2，3)，∴直线AD的解析式为y＝x＋1.∴可设直线DQ的解析式为y＝－x＋b.把D(2，3)代入上式可求得b＝5，∴直线DQ的解析式为y＝－x＋5.联立直线DQ和抛物线的解析式可得解得∴Q(1，4)．Ⅱ.当∠AQD＝90°时，设Q(t，－t2＋2t＋3)，设直线AQ的解析式为y＝k1x＋b1，把A，Q坐标代入上式可得，解得k1＝－(t－3)．设直线DQ的解析式为y＝k2x＋b2，同理可求得k2＝－t.∵AQ⊥DQ，∴k1k2＝－1，即t(t－3)＝－1，解得t＝.当t＝时，－t2＋2t＋3＝；当t＝时，－t2＋2t＋3＝.∴Q点坐标为(，)或(，)．综上可知Q点坐标为(1，4)或(，)或(，)．3．(2018·邵阳)如图所示，将二次函数y＝x2＋2x＋1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．函数y＝x2＋2x＋1的图象的顶点为点A.函数y＝ax2＋