实变函数期末考试卷A卷

１河北科技师范学院2009–2010学年第二学期07级数学与应用数学专业实变函数试卷（A）卷及答案一、判断题（每题2分，共20分）1.若A是B的真子集，则必有BA。（×）2.必有比a小的基数。（√）3.一个点不是E的聚点必不是E的内点。（√）4.无限个开集的交必是开集。（×）5.若E，则0*Em。（×）6.任何集nRE都有外测度。（√）7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。（×）8.可测集的所有子集都可测。（×）9.若)(xf在可测集E上可测，则)(xf在E的任意子集上也可测。（×）10.)(xf在E上可积必积分存在。（×）题号一二三四合计得分阅卷人河北科技师范学院装订线系（部）班级学号姓名得分阅卷人得分阅卷人２二、填空题（每空2分，共20分）1.设B是1R中无理数集，则Bc。2.设1,1,,31,21,1RnA，则0A，'A}0{。3.设,2,1,0),11,11(nnnAn，则nnA0)1,1(，nnA1}0{。4.有界变差函数的不连续点构成的点集是至多可列集。5.设E是]1,0[上的Cantor集，则mE0。6.设A是闭集，B是开集，则BA\是闭集。7.闭区间],[ba上的有界函数)(xfRimann可积的充要条件是)(xf是],[ba上的几乎处处的连续函数。8.Rimann函数是Rimann可积也是Lebesgue可积的。三、计算题（每题10分，共20分）1.计算dxnxxnnxRn1032221sin1)(lim。（提示：使用Lebesgue控制收敛定理）解：设nxxnnxxfn32221sin1)(),2,1(n，则（1）因)(xfn在]1,0[上连续，所以是可测的；（2）]1,0[,0)(limxxfnn；得分阅卷人得分阅卷人３（3）因为xnxnxxnnxnxxnnx2121sin121222132221)(xF显然)(xF在]1,0[上可积。于是由Lebesgue控制收敛定理，有0sin1)(limsin1)(lim10322211032221dxnxxnnxLdxnxxnnxRnn2.设为有理数，的无理数；为小于的无理数为大于xxxxxxf,01,;1,)(2试计算]2,0[)(dxxf。解：因为有理数集的测度为零，所以2)(xxf..ea于]1,0[，xxf)(..ea于]2,1[。于是]2,1[]1,0[]2,0[)()()(dxxfdxxfdxxfdxxdxx211026112331４四、证明题（每题8分，共40分）1.证明：)\()(\11nnnnAAAA证明：)(\1nnAA(AnnA1c))(1cnnAA=)(1cnnAA)\(1nnAA2.设M是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明M是至多可列集。证明：由有理数集的稠密性可知，每一个开区间中至少有一个有理数，从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合A。因为这些开区间是互不相交的，所以此有理数集A与开区间组成的集合M是一一对应的。则A是有理数集的子集，故至多可列，所以M也是至多可列集。3.证明：若0Em，则E为可测集。证明：对任意点集T，显然成立着)()(cETmETmTm。另一方面，因为0Em，而EET，所以EmETm)(，于是)(ETm0。又因为cETT，所以)(cETmTm，从而得分阅卷人５)()(cETmETmTm。总之，)()(cETmETmTm。故E是可测集。4.可测集E上的函数)(xf为可测函数充分必要条件是对任何有理数r，集合])([rxfE是可测集。5.证明区间],[ba上的任何单调函数)(xf为有界变差函数，并求全变差。６７8