3.3排序不等式

三排序不等式【自主预习】1.顺序和、乱序和、反序和的概念设有两个有序实数组:a1≤a2≤…≤an;b1≤b2≤…≤bn,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任意一个排列.(1)顺序和:________________.(2)乱序和:________________.(3)反序和:_________________.a1b1+a2b2+…+anbna1c1+a2c2+…+ancna1bn+a2bn-1+…+anb12.排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则_________________≤a1c1+a2c2+…+ancn≤________________,当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和.a1bn+a2bn-1+…+anb1a1b1+a2b2+…+anbn【即时小测】1.已知a,b,c∈R+,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系是()A.a3+b3+c3a2b+b2c+c2aB.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2aC.a3+b3+c3a2b+b2c+c2aD.a3+b3+c3≤a2b+b2c+c2a【解析】选B.因为a,b,c∈R+,不妨设a≤b≤c,则a2≤b2≤c2,由排序不等式得a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a.2.若abc,xyz,则下列各式中值最大的一个是()A.ax+cy+bzB.bx+ay+czC.bx+cy+azD.ax+by+cz【解析】选D.因为abc,xyz,由排序不等式:反序和≤乱序和≤顺序和,得:顺序和ax+by+cz最大.3.已知a,b,c≥0,且a2+b2+c2=3,则的最大值是_________.【解析】因为a,b,c≥0,不妨设a≤b≤c,则a2≤b2≤c2,则abbcca＋＋abc,abbccaaabbcc，当且仅当a=b=c时等号成立,又a2+b2+c2=3,所以a=b=c=1,于是的最大值为3.答案:3abbcca＋＋【知识探究】探究点排序不等式1.使用排序不等式的关键是什么?提示:使用排序不等式,关键是出现有大小顺序的两列数(或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系.2.已知两组数1,2,3和4,5,6,试检验它们的顺序和是否最大?反序和是否最小?提示:反序和S1=1×6+2×5+3×4=28,乱序和S=1×4+2×6+3×5=31,S=1×5+2×4+3×6=31,S=1×5+2×6+3×4=29,S=1×6+2×4+3×5=29,顺序和S2=1×4+2×5+3×6=32.由以上计算知S1SS2,所以顺序和最大,反序和最小.【归纳总结】1.对排序不等式的理解排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题,能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式:顺序和、反序和、乱序和,对这三种不同的搭配形式只需注意是怎样的“次序”,两种较为简单的是“顺与反”,而乱序和也就是不按“常理”的顺序了.2.排序不等式的本质两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大,反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小.3.排序不等式取等号的条件等号成立的条件是其中一序列为常数序列,即a1=a2=…=an或b1=b2=b3=…=bn.4.排序原理的思想在解答数学问题时,常常涉及一些可以比较大小的量,它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时,我们可以利用排序原理的思想方法,将它们按一定顺序排列起来,继而利用不等关系来解题.因此,对于排序原理,我们要记住的是处理问题的这种思想及方法,同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.类型一利用排序不等式求最值【典例】设a,b,c为任意正数,求的最小值.abcbcacab【解题探究】本例中要利用排序原理求解最小值,关键是什么?提示:关键是找出两组有序数组,然后根据反序和≤乱序和≤顺序和求解最小值.【解析】不妨设a≥b≥c,则a+b≥a+c≥b+c,≥≥,由排序不等式得,++≥++++≥++1bc1ca1ababcbcacabbbcccaaababcbcacabcbcacabab上述两式相加得:2(++)≥3,即++≥.当且仅当a=b=c时,++取最小值.abcbcacababcbcacab32abcbcacab32【方法技巧】利用排序原理求最值的方法技巧求最小(大)值,往往所给式子是顺(反)序和式.然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理适当构造出一个或二个乱序和从而求出其最小(大)值.【变式训练】1.已知两组数1,2,3和4,5,6,若c1,c2,c3是4,5,6的一个排列,则1c1+2c2+3c3的最大值是_________,最小值是_________.【解析】由反序和≤乱序和≤顺序和知,顺序和最大,反序和最小,故最大值为32;最小值为28.答案:32282.设0a≤b≤c且abc=1.试求的最小值.【解析】令S=333111abcbaccab333111abcbaccab，222333abcabcabcSabcbaccabbcacabbcacab.abcbaccab则由已知可得:111abacbc.abcbaccab，bcacabSacabbcabcbaccabcab.abcbaccabbcacabSabbcacabcbaccabbcaabcbaccab所以又，两式相加得:所以S≥即的最小值为311112S33.abcabc32，333111abcbaccab3.2类型二利用排序不等式证明不等式【典例】已知a,b,c都是正数,求证:111abc888333abc.abc【解题探究】本例不等式的两端如何分别构造、变形?提示:将右端变形为将左端构造为的形式.888333abcabc555333333abc.bcacab111abc222333abcabc【证明】由于a,b,c的对称性,不妨设a≥b≥c0,则≥≥.因而又a5≥b5≥c5.由排序不等式,得≥=1c1b1a331bc331ca331.ab555333333abcbccaab555333333abccaabbc222333abc.cab又由不等式性质,知a2≥b2≥c2,根据排序不等式,得≥=++.由不等式的传递性知++≤=.31c31b31.a222333abccab222333abcabc1a1b1c1a1b1c555333333abcbccaab888333abcabc【延伸探究】本例中若将要证明的不等式改为如何证明呢?222222bccaababc,abc【证明】不妨设a≥b≥c,则,bc≤ca≤ab.由排序原理,得即≥a+b+c.因为a,b,c为正数,所以abc0,a+b+c0,所以≥abc.111abcbcacabbcacab,abccab222222bccaababc222222bccaababc【方法技巧】利用排序不等式证明不等式的策略(1)利用排序不等式证明不等式时,若已知条件中已给出两组量的大小关系,则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和.利用排序不等式证明即可.(2)在排序不等式的条件中,需要限定各数值的大小关系,如果对于它们之间并没有预先规定大小顺序,那么在解答问题时,我们要根据各字母在不等式中的地位的对称性将它们按一定顺序排列起来,进而用不等关系来解题.【变式训练】设x,y,z∈R+,且x+y+z=1,则P=与1的大小关系为()A.P=1B.P1C.P≥1D.P≤1222xyzyzx【解析】选C.由x,y,z∈R+且x+y+z=1,不妨设x≥y≥z,则x2≥y2≥z2,.由排序不等式=x+y+z=1.当且仅当x=y=z=时等号成立,所以P≥1.111xyz222222xyzxyzyzxxyz13【补偿训练】已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b).【证明】取两组数a,b,c;a2,b2,c2.不管a,b,c的大小如何,a3+b3+c3都是顺序和,而a2b+b2c+c2a及a2c+b2a+c2b都是乱序和,因此,a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a,a3+b3+c3≥a2c+b2a+c2b.所以2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).自我纠错判断两数的大小【典例】一般地,对于n个正数a1,a2,…,an.几何平均数Gn=,算术平均数An=,利用排序不等式判断Gn,An的大小关系.n12naa...a12naa...an【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是忽视了等号成立的条件.实际上本题当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.正确解答过程如下:【解析】令bi=(i=1,2,…,n),则b1b2…bn=1,故可取x1,x2,…,xn0,使得b1=,b2=,…,bn-1=,bn=.由排序不等式有:b1+b2+…+bn=≥x1·+x2·+…+xn·=n,aGin12xx23xxn1nxxn1xx12n231xxx...xxx11x21xn1x当且仅当x1=x2=…=xn时取等号,所以≥n,即≥Gn.即An≥Gn.12nnnnaaa...GGG12naa...an