实变函数面试题

实变函数面试题要求：时间5分钟，自选一题，抽问一题1.叙述集合序列上下限集的定义，简单说一下两者的关系。2.简述Bernstein定理。3.给出聚点的定义。4.叙述波尔察诺—魏尔斯特拉斯定理。5.cantor集是如何构成的？它的势是多少？6.1R中任何非空的有界开集是如何构成的？7.),(的势比[0,)的势大，对吗？不对的话，它们的势有何关系？8.无穷集合最小的势是多少？9.什么是完备集？完备集和自密集之间有什么关系？10.可数集就是元素能数得清楚的集合，对吗？11.[0,1]的有理数可排列为12,,......,nrrr因而可按大小重新排列，对吗？为什么？12.任意闭集的并一定是闭集吗？举例说明.13.任意开集的交一定是开集吗？举例说明.14.用简单例子，描述测度的定义。15.简单说说为什么可数点集的测度为0.测度为0的集合一定可数吗？16.可测函数的定义是什么？17.请简要叙述简单函数的定义。18.请列举出可测函数的运算性质。19.什么是可测函数列()mfx在E上几乎处处收敛到f？20.可测函数列可测函数列()mfx在E上几乎处处收敛到f，与()mfx在E上一致几乎收敛于f有什么关系？21.请说出()fx在0x点相对于E连续的定义。22.请说出()fx在E上处处连续的定义。23.区间连续函数一定是可测函数吗？反之成立吗？24.什么是()nfx在E上依测度收敛于()fx？25.几乎处处收敛的可测函数序列必定依测度收敛吗？反之成立吗？26.依测度收敛与几乎处处收敛的关系是什么？依测试收敛中能找到几乎处处收敛的子序列吗？27.依测度收敛的可测函数序列在几乎处处相等意义下有唯一的极限，这种说法正确吗？28.闭区间[,]ab上任一有界可测函数都是L-可积的，此结论正确吗？29.Lebesgue积分的性质有哪些？30.闭区间[,]ab上R-可积与L-可积的关系是什么？31.在什么条件下，L-积分与求极限可以交换顺序？32.在什么条件下，L-积分与求和可以交换顺序？33.请叙述Lebesgue有界控制收敛定理。34.],[ba上的有限单调函数)(xf都是有界变差函数，这种说法正确吗？其依据是什么？35.有界变差函数有哪些基本性质？36.请简述Jordan分解定理。37.请简要叙述绝对连续函数的定义。38.对于R-积分，如果)(xf是],[ba上的连续函数，则Newton-Leibniz公式成立；对于L-积分，在什么条件下，Newton-Leibniz公式成立？