无穷积分收敛的判别方法(北工大)

定理1（柯西收敛准则）ApaA1,,0与,2Ap有.)(21ppdxxf一、无穷积分的性质推论1若无穷积分收敛，则adxxf)(.0)(limdxxfppadxxf)(无穷积分收敛,ab无穷积分bdxxf)(也收敛。推论2若无穷积分收敛，dxxfa)(adxxf)(则无穷积分也收敛。adxxf)(推论3无穷积分收敛，定理2若无穷积分收敛,则无穷adxxf)(积分也收敛,其中是常数,adxxcf)(c.)()()]()([dxxgdxxfdxxgxfaaa定理3若无穷积分adxxf)(与adxxg)(都收敛，则无穷积分adxxcf)(.)(adxxfc且无穷积分的分步积分与换元积分定理4设,,ax有),()(xcxfc是正常数。dxxa)(收敛，则无穷积分1.若无穷积分二、无穷积分的敛散性判别法发散，则无穷积分2.若无穷积分dxxfa)(dxxa)(也发散.也收敛.dxxfa)(证明1）根据定理1，,,0aA,21APAP与有.)(21PPdxx由不等式),()(xcxf有21)(PPdxxf,)(21CdxxCPP无穷积分收敛.dxxfa)(2）用反证法，根据1）可以得到矛盾。dxxfa)(则无穷积分也收敛.推论4,,ax函数,0,0)(axf且极限1.若,0,1d则无穷积分adxxf)(收敛；,0,1d则无穷积分adxxf)(发散。2.若dxfxx)(lim).0(d（1）证明1)由(1)式，,,0,00AxA有0)(dxfx,)(00dxfxd或则.1)(100xdxfxd当时，无穷积分收敛。1adxx1则无穷积分收敛。adxxf)(2）当时，由(1)式，d0,,0,,00AxAd００使有)(10xfxd),(110xfdx或已知,1无穷积分发散，则axdxadxxf)(发散。当,d由(1)式，,,0,0AxAB有Bxfx)(,1)(xBxf或已知,1无穷积分发散，则axdxadxxf)(发散。例1判别无穷积分的敛散性.dxex02例2判别无穷积分的敛散性.1321xxdx例3判别无穷积分的敛散性.11cosxxxdx例4判别无穷积分(是参数)的敛散性.dxexx11三.绝对收敛,条件收敛的定义定义1若无穷积分dxxfa)(收敛，则adxxf)(称无穷积分绝对收敛。定义2若无穷积分adxxf)(收敛，而dxxfa)(发散，则称无穷积分adxxf)(条件收敛。定理5（狄利克雷判别法）设函数与在区间有定义，)(xf)(xg),[a在任何有穷区间都可积，若],[Aa１)积分为的有界dxxgAFAa)()(A函数，即有,,0aAK;)()(KdxxgAFAa２）函数是单调的，且.0)(limxfx)(xf则无穷积分收敛．dxxgxfa)()(证明由柯西收敛准则和积分第二中值定理,由条件2),,',0,0aAAa有)(Af.)'(Af与存在有],',[AA')()(AAdxxgxf.)()'()()('dxxgAfdxxgAfAA又因为有界,有)(AF,2)()()(KAFFdxxgA.2)('KdxxgA则')()(AAdxxgxf')()'()()(AAdxxgAfdxxgAf,4K即无穷积分收敛.dxxgxfa)()(定理6（阿贝尔判别法）设函数与在区间有定义，)(xf)(xg),[a在任何闭子区间都可积，若],[Aa１）函数在单调并且有界．)(xf),[a２）无穷积分收敛．dxxga)(则无穷积分收敛．dxxgxfa)()(证明因为函数在单调且)(xf),[a有界,所以它存在有穷极限,设.)(limlxfx则,0])([limlxfx即函数单调减少地趋于零.lxf)(无穷积分dxxglxfa)(])([dxxgldxxgxfaa)()()(也收敛.dxxga)(已知收敛,即证.例5证明：无穷积分条件收敛．dxxx0sin例6讨论无穷积分与dxx02sindxx02cos的敛散性．注:1.对于级数收敛1nna);(0nan对于无穷积分收敛dxxfa)().(0)(xxf2.对于定积分,若在[a,b]可积)(xf)(xf在[a,b]也可积．反之不成立．加上什么条件可以推出此结论?对于无穷积分,若在收敛)(xf),[a)(xf),[a在也收敛.反之不成立.总结:判断无穷积分收敛的方法1.利用定积分的计算方法,求出积分.2.用柯西收敛准则.3.用比较法.4.用狄利克雷和阿贝尔判别法.练习1.讨论无穷积分的收敛性.;1)1(052dxxx.sin)2(04dxxx