圆锥曲线复习-课件

1.椭圆的定义平面内到两定点F1、F2距离之和为常数2a(①)的点的轨迹叫椭圆.有|PF1|+|PF2|=2a.在定义中，当②时，表示线段F1F2;当③时,不表示任何图形.2a＞|F1F2|2a=|F1F2|2a|F1F2|2.椭圆的标准方程(1)=1(a＞b＞0),其中a2=b2+c2，焦点坐标为④.(2)=1(a＞b＞0),其中a2=b2+c2，焦点坐标为⑤.2222xyab2222xybaF1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)4.椭圆=1(a＞b＞0)的几何性质(1)范围：|x|≤a,|y|≤b，椭圆在一个矩形区域内；(2)对称性：对称轴x=0，y=0，对称中心O(0，0)；一般规律：椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线.2222xyab(3)顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),长轴长|A1A2|=⑧，短轴长|B1B2|=⑨;一般规律：椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点.(4)离心率：e=⑩(0＜e＜1)，椭圆的离心率在内,离心率确定了椭圆的形状(扁圆状态).当离心率越接近于时,椭圆越圆;当离心率越接近于时，椭圆越扁平.2a2bca11(0,1)1301215.双曲线的定义平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a(且①)的点的轨迹叫双曲线，有||MF1|-|MF2||=2a.在定义中，当②时表示两条射线,当③时,不表示任何图形.0＜2a＜|F1F2|2a=|F1F2|2a|F1F2|6.双曲线的标准方程(1)焦点在x轴上的双曲线:④,其中⑤,焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0)；(2)焦点在y轴上的双曲线:⑥,其中c2=a2+b2，焦点坐标为F1(0,-c),F2(0,c).22221xyabc2=a2+b222221xyab7.双曲线(a＞0,b＞0)的几何性质(1)范围：⑨,y∈R；(2)对称性：对称轴x=0,y=0，对称中心(0，0)；一般规律：双曲线有两条对称轴，它们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线.22221xyab|x|≥a(3)顶点：A1(-a,0),A2(a,0)；实轴长⑩，虚轴长;一般规律：双曲线都有两个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点.(4)离心率e=()；双曲线的离心率在(1,+∞)内，离心率确定了双曲线的形状.(5)渐近线：双曲线的两条渐近线方程为;双曲线的两条渐近线方程为.|A1A2|=2a11|B1B2|=2bca12e＞122221xyab1322221xyaby=±xba14y=±xab双曲线有两条渐近线，他们的交点就是双曲线的中心；焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b;公用渐近线的两条双曲线可能是:a.共轭双曲线；b.放大的双曲线；c.共轭放大或放大后共轭的双曲线.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两条渐近线方程，即方程就是双曲线的两条渐近线方程.22220xyab22221xyab8.抛物线的定义平面内与一定点F和一条定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的①.2.抛物线的标准方程与几何性质准线标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)对称轴②.x轴y轴③.焦点F(,0)④.⑤.F(0,-)x轴y轴2pF(-,0)2pF(0,)2p2p离心率e=1e=1e=1e=1准线⑥.x＝y＝－⑦.x=-2p2p2py=2p9.直线与圆的位置关系的判断由圆心到直线的距离d与圆半径r比较大小判断位置关系;(1)当d＞r时,直线与圆①;(2)当d=r时,直线与圆②;(3)当d＜r时，直线与圆③.10.直线与圆锥曲线的位置关系的判断判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0（或ay2+by+c=0）.相离相切相交(1)当a≠0时,则有④,l与C相交;⑤,l与C相切;⑥,l与C相离;(2)当a=0时，即得到一个一次方程，则l与C相交,且只有一个交点,此时,若曲线C为双曲线,则l⑦于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l⑧于抛物线的对称轴.Δ＞0Δ=0Δ＜0平行平行11.弦长公式连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦.要能熟练地利用方程与根的系数关系来计算弦长，常用的弦长公式|AB|=⑨=⑩.当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长.2121||kxx12211||yyk13.求轨迹方程的基本思路(1)建立适当的直角坐标系，设曲线上的任意一点（动点）坐标为M(x,y).(2)写出动点M所满足的③.(3)将动点M的坐标④,列出关于动点坐标的方程f(x,y)=0.(4)化简方程f(x,y)＝0为最简形式.(5)证明（或检验）所求方程表示的曲线上的所有点是否都满足已知条件.几何条件的集合代入几何条件注意：第（2）步可以省略，如果化简过程都是等价交换，则第（5）可以省略；否则方程变形时，可能扩大（或缩小）x、y的取值范围，必须检查是否纯粹或完备（即去伪与补漏）.14.求轨迹方程的常用方法(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x,y的等式就得到曲线的轨迹方程；(2)定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线、圆锥曲线)的⑤,则可根据定义采用设方程求方程系数得到动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：当所求动点M是随着另一动点P(称之为相关点)而运动，如果相关点P满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程；定义22.设P为双曲线-y2=1上一动点,O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为.24xx2-4y2=1(代入法)设M(x,y)，P(x1,y1)，则-y12=1.①x=x1=2xy=y1=2y214x又12x,即12y,代入①得x2-4y2=1.3.特殊弦问题探究方法.(1)若弦过焦点时（焦点弦问题），焦点弦的弦长的计算一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用焦半径公式求解.(2)若问题涉及弦的中点及直线斜率问题（即中点弦问题），可考虑“点差法”（即把两点坐标代入圆锥曲线方程，然后两式作差），同时常与根和系数的关系综合应用.1.动点P到两定点F1(-3,0)，F2(3,0)的距离之和等于6，则点P的轨迹是()CA.椭圆B.圆C.线段F1F2D.直线F1F2课堂练习2.椭圆+=1的焦点坐标是,若弦CD过左焦点F1,则△F2CD的周长是.216x29y(±,0)716由已知，半焦距c==,故焦点坐标为(±,0),△F2CD的周长为4a=4×4=16.169775.椭圆=1(ab0)的焦点为F1、F2，两条直线x=±(c2=a2-b2)与x轴的交点为M、N，若｜MN｜≤2|F1F2|,则该椭圆的离心率e的取值范围是.2222xyab2ac［,1)22由已知|MN|=2·.又|MN|≤2|F1F2|,则2·≤4c,从而≥,故≤1,故e∈［,1).2ac2ac22ca1222ca22方法提炼方法提炼1.在解题中凡涉及椭圆上的点到焦点的距离时，应利用定义求解.2.求椭圆方程的方法，除了直接根据定义法外，常用待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确，可设方程为+=1(m＞0,n＞0),或设为Ax2+By2=1(A＞0,B＞0).2xm2yn6.双曲线=1的实轴长是，焦点坐标是.22169yx8（0,±5)7.方程=1表示双曲线，则实数k的取值范围是.2211xykk(-∞,-1)∪(1,+∞)由题设及双曲线标准方程的特征可得(1+k)·(1-k)0，求得k-1或k1.9.若双曲线=1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率.2222xyabe=2由已知，两渐近线方程为y=±x,由两渐近线互相垂直得·(-)=-1,即a=b.从而e===.bababaca22aba23.椭圆是封闭性曲线，而双曲线是开放性的.又双曲线有两支，故在应用时要注意在哪一支上.4.根据方程判定焦点的位置时，注意与椭圆的差异性.5.求双曲线的标准方程时应首先考虑焦点的位置，若不确定焦点的位置时，需进行讨论，或可直接设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB0).6.与双曲线共渐近线的双曲线方程为=λ(λ≠0).与双曲线共焦点的圆锥曲线方程为(λa2,且λ≠-b2).7.双曲线的形状与e有关系:k====，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔.22221xyab2222xyab22221xyab22221xyabba22caa221ca21e11.平面内，动点M到定点F（0,-3）的距离比它到直线y-2=0的距离多1,则动点M的轨迹方程是.x2=-12y依题设，动点M到定点F(0,-3)的距离等于它到定直线y=3的距离，由抛物线的定义可知，其轨迹方程为x2=-12y.12.抛物线y=-x2的焦点坐标是，准线方程是.y=1(0,-1)14抛物线的标准方程是x2=-4y，所以焦点坐标为（0，-1），准线方程为y=1.13.抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且焦点到准线的距离为4,则该抛物线的标准方程为.y2=±8x依题设，设抛物线的方程为y2=ax,且|a|=2×4=8,即a=±8，故抛物线方程为y2=±8x.14.抛物线y2=4x上一点到其焦点F的距离为5,则点P的坐标是.(4,±4)由抛物线的定义，|PF|等于P点到准线x=-1的距离，则xP-(-1)=5，得xP=4.又y2=4x，得yP=±4.故点P的坐标为（4，±4).15.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为.由抛物线的定义，连接点(0,2)和抛物线的焦点F(,0),交抛物线于点P，则点P使所求的距离最小，且其最小值为=.12221(0)(20)21721722.定义及标准方程的理解.(1)求抛物线的标准方程，要先根据题设判断抛物线的标准方程的类型，再由条件确定参数p的值.同时，知道抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者之间是相依并存的，知道其中一个，就可以求出其他两个.(2)焦点弦公式：对于过抛物线焦点的弦长，可用焦半径公式推出弦长公式.设过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的弦为AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则有|AB|＝x1+x2+p.(3)与椭圆、双曲线相比，抛物线没有对称中心，只有一个焦点，一条准线，一个顶点，一条对称轴，且离心率为常数1.(4)抛物线标准方程中参数p的几何意义是焦点到准线的距离，焦点的非零坐标是一次项系数的.(5)抛物线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号，则抛物线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号，则抛物线的开口方向为x轴或y轴的负方向.143.特殊弦问题探究方法.(1)若弦过焦点时（焦点弦问题），焦点弦的弦长的计算一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用焦半径公式求解.(2)若问题涉及弦的中点及直线斜率问题（即中点弦问题），可考虑“点差法”（即把两点坐标代入圆锥曲线方程，然后两式作差），同时常与根和系数的关系综合应用.16.若a≠b且ab≠0,则直线ax-y+b=0和二次曲线bx2+ay2=ab的位置关系可能是()C由已知，直线方程可化为y=ax+b,其中a为斜率,b为纵截距，二次曲线方程可化为=1，应用淘汰法可知A、B、D均自相矛盾.故选C.22