两个基本原理、排列组合与二项式定理

两个基本原理、排列组合与二项式定理一、两个计数原理1.分类加法计数原理:完成一件事情,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.理解分类加法计数原理:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2.分步乘法计数原理:完成一件事情,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有种不同的方法.理解分步乘法计数原理:分步计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事.例如：1、含n个元素的集合的子集的个数？2、4件物品放入3个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？二、排列.1.⑴对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号mnA表示.⑷排列数公式：),,()!(!)1()1(NmnnmmnnmnnnAm注意：!)!1(!nnnn规定0!=111mnmnnAA规定10nnnCC三、组合.1.⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(mnmnCmmnnnAACmnmmmnmn⑶两个公式：①;mnnmnCC②mnmnmnCCC11⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.⑸①几个常用组合数公式0122nnnnnnCCCC02413512nnnnnnnCCCCCC1121mmmmmmmmmnnmCCCCC11kknnkCnC111111kknnCCkn②常用的证明组合等式方法例.i.裂项求和法.如：)!1(11)!1(!43!32!21nnn（利用!1)!1(1!1nnnn）ii.递推法（即用mnmnmnCCC11递推）如：333343451nnCCCCC.iii.构造二项式.如：nnnnnnCCCC222120)()()(证明：这里构造二项式nnnxxx2)1()1()1(其中nx的系数，左边为22120022110)()()(nnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCCC，而右边nnC2四、排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略.1.⑴二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCba01100)(.展开式具有以下特点：①项数：共有1n项；②系数：依次为组合数;,,,,,,210nnrnnnnCCCCC③每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.nba)（展开式中的第1r项为：),0(1ZrnrbaCTrrnrnr.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大.I.当n是偶数时，中间项是第12n项，它的二项式系数2nnC最大；II.当n是奇数时，中间项为两项，即第21n项和第121n项，它们的二项式系数2121nnnnCC最大.③系数和：1314201022nnnnnnnnnnnCCCCCCCC附：一般来说babyaxn,()(为常数）在求系数最大的项或最小的项．．．．．．．．．．．时均可直接根据性质二求解.当11ba或时，一般采用解不等式组11111(,kkkkkkkkkkTAAAAAAAAA为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解.分类加法计数原理例1已知复数z=a+bi,其中a,b为非负整数且a2+b2≤52,这样的复数共有多少个?练习(2013·福建卷)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为()A.14B.13C.12D.10分步乘法计数原理例2已知集合M={-3,-2,-1,1,2},a,b∈M.(1)P(a,b)可表示平面上多少个第四象限的点?(2)y=ax+b可表示平面上多少条不同的直线?(3)若xbay中a,b不相同,则可表示平面上多少条不同的直线?练习(2013·四川卷)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lgb的不同值的个数是()A.9B.10C.18D.20计数原理的综合应用例3有10本不同的数学书,9本不同的语文书,8本不同的英语书,从中任取两本不同类的书,有多少种不同的取法?练习(2013·北京卷改编)从1,3中选一个数字,从0,2,4中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为()A.24B.18C.20D.63.(2013·深圳一调)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则首位为2的“六合数”共有()A.18个B.15个C.12个D.9个5.(2013·重庆卷改编)若In={1,2,3,…,n},Pn=,则P7中一共含有个元素.6.如图,用5种不同的颜色给图中A,B,C,D四个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不同,共有种不同的涂色方法.(第6题)7.值域为{-1,7,14,23},其对应关系为y=x2-2的函数有多少个?8.如图所示,将四棱锥SABCD的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法的种数.(第8题)排列与组合排列的应用问题例1有2名男生,3名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数:(1)全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置;(2)全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边;(3)全体排成一行,其中男生必须排在一起;(4)全体排成一行,男生不能排在一起;(5)全体排成一行,男生与男生、女生与女生各不相邻;(6)全体排成一行,其中甲、乙两人从左至右的顺序不变;(7)全体排成一行,甲、乙两人中间必须有2人.练习(2013·浙江卷)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种.组合的应用问题例2现在有翻译8人,其中3人只会英语,2人只会日语,还有3人英语、日语都会,现从这8人中选取3名英语、2名日语翻译,有多少种不同的选法?练习某重大事故中,某医院从8名医疗专家中抽调4名前往事故现场抢救伤员,其中这8名医疗专家中有3名是外科专家.(1)某外科专家甲和某内科医生乙必须参加,共有多少种抽调方法?(2)恰好有2名外科医生参加,共有多少种抽调方法?(3)至多有2名外科专家参加,共有多少种抽调方法?(4)至少有1名外科专家和1名内科医生参加,共有多少种抽调方法?排列、组合的综合应用问题例3有4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.(1)共有几种放法?(2)恰有1个空盒,有几种放法?(3)恰有2个盒子不放球,有几种放法?练习暑假期间,打算将5名大学生分配到3个不同的地区去实习,每个地区至少1人,则一共有种不同的分配方法.14．（10江西）将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_________种（用数字作答）．1080（8）（14安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（A）24对（B）30对（C）48对（D）60对489.（14重庆）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则类节目不相邻的排法种数是（）A.72B.120C.144D.312014．（14年浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖。将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种（用数字作答）。6013、（13年重庆）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________（用数字作答）【答案】：5908.（13年汕头市一模）给一个正方体的六个面涂上四种不同颜色（红、黄、绿、蓝），要求相邻两个面涂不同的颜色，则共有涂色方法（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色一致，我们认为是同一种涂色方法）（）A．6种B。12种C。24种D。48种6二项式定理求二项展开式中的特定项或特定项的系数例1已知的二项式系数之和为512.(1)求展开式中的第5项系数;(2)求展开式中的中间项;(3)求展开式中所有的有理项.练习(1)(2013·天津卷)的二项展开式中的常数项为.(2)(2013·四川卷)二项式(x+y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是.有关二项展开式各项系数和的问题例2已知(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6.(1)求a1+a2+a3+a4+a5+a6;(2)求a0+a2+a4+a6;(3)求|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|.练习二项式(2x-1)7的展开式中.(1)求展开式各二项式系数之和;(2)求展开式中除常数外各项系数之和;(3)求展开式中所有偶数项系数之和.展开式的二项式系数或系数的最值问题例3在的展开式中.(1)求二项式系数最大的项;(2)求系数绝对值最大的项;(3)求系数最大的项.练习在(1-x)n(n∈N*)的二项展开式中,若只有x6的系数最大,则n的值为.7.在62)1(xx的展开式中5x的系数为（）A．4B．5C．6D．78.（11年课标1）51()(2)axxxx的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）.（A）40（B）20（C）20（D）4014.（12年浙江）若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋……＋a5（1＋x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数，则a3=______________。5．（14年浙江）在6411xy的展开式中，记nmyx项的系数为,fmn，则3,02,11,20,3ffff（）（A）45（B）60（C）120（D）210（5）（13年课标二）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（）（A）-4（B）-3（C）-2（D）-1