同济版大一高数第十章第二节二重积分的计算

1高等数学第十五讲2第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分二重积分的计算法第十章3xbad][曲顶柱体体积的计算设曲顶柱体的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取平面故曲顶柱体体积为DyxfVd),(截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd)(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0xDdxxAdV0截柱体对应薄片的体积：yyxfxxd),()()(21badx),(yxfz4ydcxo)(2yx)(1yxyydcd][dycyxyyxD),()(),(21同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(215一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知,若D为X–型区域则)(1xy)(2xyxboyDax若D为Y–型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcyd则6计算二重积分的步骤：一、画积分域D二、选择积分次序三、定积分限四、计算若D为X–型区域bxaxyxD)()(:21若D为Y–型区域dycyxyD)()(:21左右夹，从下向上穿上下夹，从左向右穿计算二重积分的基本思想——将其化成两次定积分来计算。定内限——域中一线穿定外限——域边两线夹（是常数）7oxy说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2)若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域,321DDDD则8xy211xyo221dy例1.计算,dDyxI其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.x解法1.将D看作X–型区域,则:DI21dxxyyd21d21x213d21xxx8912xyx解法2.将D看作Y–型区域,则:DIxxd21dyyyyx222121321d2yyy89y1xy2xy121x2xy21y9例2.计算,ddsinDyxxx其中D是直线所围成的闭区域.oxyDxxy解:0:0xDyxDyxxxddsinxy0d0dsinxx20dsinxxx10例3.计算解:)cos(yx0220yd20d]cos[sinyyyyysincos20211例4.计算,dDyx其中D是抛物线所围成的闭区域.解:求交点:DxyxdDyxd21dy212221d2yyxyy2152d])2([21yyyyDxy22xy214oyxy22yxy21y2y2y及直线则为计算简便,先对x后对y积分,12注：本题计算中若先对y后对x积分：10122xyydexdxDyydxdexI2201:1xDxy由于2ye的原函数不能用初等函数来表示，则本题只能采用先对y后对x积分。例5计算DyydxdexI22其中D是由直线01xyxy所围成。D13例6计算DyydxdexI22其中D是由直线01xyxy所围成。解：画域01:0yDxy10022yyxdxydeI1003|312ydxeyy103231ydyey1022)(612ydeyy]|[6110210222ydeeyyy16111ee12161eD102261yedy14例7计算xdxydIy1310sin解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:2010:xyxD先对x积分不行,110:xyyD2xyydxdxIx20103sinxdxx2103sin3103sin31xdx01cos313x)1cos0(cos31)1cos1(311D2xy1yxo15交换二次积分的积分次序的步骤：1、根据已给的二次积分的积分限用不等式表示区域D，并画出D的图形。2、根据D的图形将D用另一种表达式来表示，以确定改变积分次序后的积分限。把所给的二次积分化成另一种二次积分。16例8.交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解:积分域由两部分组成:121202:,0xDyx822yx2D22yxo21D221xy222222:08xDyx21DDD将:D视为Y–型区域,则282yxy20yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy17例9计算dxyID21011:yxD解:先画D域由:2xy将D域分为D1和D2111:21yxxD22011:xyxD2122DDdyxdxyI1511111xyo2D1D18例10求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.xyzRRo解:设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为220dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz0(,):xRxyDxxRRd8022220yRx19二、利用极坐标计算二重积分换元积分法是计算定积分的一种常用的方法，在计算重积分中有类似的换元法。一种换元法就是本节所介绍的极坐标。将二重积分的从直角坐标换为积分变量2024ydxdyxID22144:2222yxxyxDAB解：先求曲线的交点442222yxxyx3,1,3,1BA1D3D2D321DDDD321DDDI:1D引例：计算xy0224421xxyxx:2D224442xxyxxx:3D224421xyxxx1D21极坐标：若将直角坐标系中的原点取为极点，M轴的正半轴取为极轴。0xx设直角坐标系中点yx,的坐标M极坐标系中点M的坐标,r,rrsincosryrxxyryxtan222r020oMr称为极坐标的极径。称为极坐标的极角。sin,cos,rrfyxf二重积分中被积函数把y由极轴出发逆时针方向为正。两坐标系中变量间关系：yx22xyo求极坐标下的积分元素在极坐标系下,用射线=常数则除包含边界点的小区域外,),,2,1(nkkkkkkrrk及同心圆r=常数,d的表示方法。drrddrd小区域的面积由图可知：rddrkdDyxfd),(ddrrDrrf)sin,cos(分划区域D为kkrrr23oD)()(21d)sin,cos(rrrrf极坐标中二重积分化为二次积分的方法类似于直角12:,()()Dr则Drrrrfdd)sin,cos(d特别,对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD坐标系中的方法。设：)(1r)(2r24思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试)(rDoyx)(rDoyx问的变化范围是什么?(1)(2)0:0()Dr:220()Dr25例1：将dyxfID,化成极坐标下的二次积分。0:.1222aayxDa200:arDrdrrrfdIa200sin,cosDx0yar2602:.222aaxyxDcos2ar22cos20:arDrdrrrfdIa22cos20sin,cosa2Dax0y222)(:ayaxD例1：将dyxfID,化成极坐标下的二次积分。273.02:22bybyxDsin2br0sin20:brDrdrrrfdIb0sin20sin,cosb2bDx0y222)(:bbyxD例1：将dyxfID,化成极坐标下的二次积分。2841:22yxD2021:rDrdrrrfdI2021sin,cosxy021D4.21r例1：将dyxfID,化成极坐标下的二次积分。29由极坐标计算引例：引例：计算ydxdyxID221xyxyxD44:2222解：求曲线的交点xyxyx44222233cos42:rDcos42rrrddcos42302302cos42d30|2sin423434drrdrID132,121cosDxy0323130例2.计算其中.:222ayxD解:在极坐标系下,200:arD原式Drreard02)1(2ae2xe的原函数不是初等函数,故本题无法用直角ddrr20d由于故坐标计算.rreard202)d(202rear31注:利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2d02xex事实上,当D为R2时,利用例2的结果,得①故①式成立.323261sin4ryxyxDdd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22233yx例3.计算其中D为由圆所围成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx4223yx及直线3,3yx解：平面闭区域.3yxsin2roxy2436d33例4.计算二重积分其中D为解:利用极坐标.rdrrrdI10222011)212(ln2Ddxdyyxyx2222111202(1)21rdrr34计算二重积分Ddxdyyxyx2222)sin(,其中积分区域为}41|),{(22yxyxD.解由对称性，可只考虑第一象限部分，注意：被积函数也要有对称性.Ddxdyyxyx2222)sin(210sin42rdrrrd.414DD1D例535例6：计算11:22yxyxD解：先画D域（分析D域在第一象限）1122ryx1yx21cossin1:orDrddI)sin(c