同济版大一高数第十一章习题课

1高等数学第二十七讲2习题课一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分的计算第十一章3（一）曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（三）场论初步一、主要内容4曲线积分曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分计算计算联系联系（一）曲线积分与曲面积分5曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义niiiiLsfdsyxf10),(lim),(LdyyxQdxyxP),(),(]),(),([lim10iiiniiiiyQxP联系dsQPQdyPdxLL)coscos(计算dtfdsyxfL22],[),()(dtQPQdyPdxL]),(),([(与方向有关)6与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域D上),(),,(yxQyxP具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.LQdyPdxD与路径无关内在)3(CDCQdyPdx闭曲线,0)2(QdyPdxduyxUD使内存在在),()4(xQyPD,)1(内在等价命题7曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义niiiiisfdszyxf10),,(lim),,(xyiniiiiSRdxdyzyxR)(),,(lim),,(10联系RdxdyQdzdxPdydz计算与侧无关与侧有关dSRQP)coscoscos(dszyxf),,(xyDyxdxdyzzyxzyxf221)],(,,[dxdyzyxR),,(xyDdxdyyxzyxR)],(,,[8定积分曲线积分重积分曲面积分计算计算计算Stokes公式Guass公式（二）各种积分之间的联系9点函数)(,)(lim)(10MfMfdMfnii.)()(,],[1badxxfdMfbaR时上区间当.),()(,2DdyxfdMfDR时上区域当积分概念的联系定积分二重积分10dVzyxfdMfR),,()(,3时上区域当.),,()(,3dszyxfdMfR时上空间曲线当.),,()(,3dSzyxfdMfR时上曲面当曲面积分三重积分.),()(,2LdsyxfdMfLR时上平面曲线当曲线积分11计算上的联系)(,]),([),()()(21面元素ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)(,),,(),,()()(),(),(2121体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxzbaLdsdxyxyxfdsyxf))((,1)](,[),(2曲线元素baLdxdxxyxfdxyxf))((,)](,[),(投影线元素12xyDyxdxdyzzyxzyxfdszyxf221)],(,,[),,(xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR)],(,,[),,(其中dsRQPdxdyRQdzdxPdydz)coscoscos(dsQPQdyPdxLL)coscos())((曲面元素ds))((投影面元素dxdy13理论上的联系1.定积分与不定积分的联系))()(()()()(xfxFaFbFdxxfba牛顿--莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系)()(的正向沿LQdyPdxdxdyyPxQLD格林公式143.三重积分与曲面积分的联系RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx斯托克斯公式15DLdxdyAdivdsnA)(Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系()AdSrotAndSRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdvAdivdsnA)(dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)(DLdxdyyPxQQdyPdx)(DLdxdyyQxPPdyQdx)(或推广推广为平面向量场)(MA为空间向量场)(MA()LDAdsrotAndxdy16梯度kzujyuixugradu通量旋度环流量zRyQxPAdivRdxdyQdzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()(RdzQdyPdx散度（三）场论初步17一、曲线积分的计算法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终练习题:P184题3(1),(3),(6)18(1)利用对称性及形心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);(5)利用斯托克斯公式;(4)利用两类曲线积分的联系公式.2.基本技巧19例1计算其中L为圆周提示:利用极坐标,原式=sxaLd说明:若用参数方程计算,xaoyr22ddsrrdat则20例2.计算其中为曲线解:利用轮换对称性,有szsysxddd222利用形心公式知szyxId)(32222334azoyx(的形心在原点)21LQdyPdxIxQyPxQyP0ydQxPdIL),(),(yxyxQdyPdxI00闭合非闭闭合DdxdyyPxQI)(非闭补充曲线或用公式思路:22计算LdyyxdxxyxI)()2(422,其中L为由点)0,0(O到点)1,1(A的曲线xy2sin.例3.解104102)1(dyydxx原式故.1523xyo11AxyP2xQ23例4.计算其中L为摆线上对应t从0到2的一段弧.提示:202dsinttta原式22cos0att思考：若用格林公式加辅助线的方法如何计算？220dcosatt24例5.计算其中L是沿逆时针方向以原点为中心,CoyxABL解令,,22xyQyxP则这说明积分与路径无关,故yxyxyxIABd)(d)(22aaxxd2a为半径的上半圆周.25CoyxABL(利用格林公式)思考:(2)若L同例5,如何计算下述积分:LyxyxyxId)(d)(2222yLyxyxyxId)(d)(2213(1)若L改为顺时针方向,如何计算下述积分:其中L是沿逆时针方向以原点为中心,a为半径的上半圆周.例5.计算26思考题解答:LyxyxyxId)(d)(2213(1)ABABLDyxdd2)32(2aaLyxyxyxId)(d)(2222y(2)Lyxyxyxd)(d)(22Lxyd2330sindatt,sin,cos:taytaxL323a32a:0t332aICoyxABLD27例6.计算cossin2Qyxxx其中L是沿曲线21xy从A(0,1)到B(1,0)的一段弧.解:yyxxxxyyLd)cos(cosd)sinsin(oLyxABcossinPyxy28LD例7.计算其中L是以点(1,0)为中心,R(R1)为半径的圆周,取逆时针方向.2000.考研解:22222)4(4yxxyyP,xQ在L所围域内作足够小的椭圆l如图sincos:2yxlllLIlyxydxxdy224d222120若L为顺时针方向，则I=1422yxlyxo29)2,1()1,0(oyx例8设积分与路径无关,其中有一阶连续导数.则)(dd)(2)2,1()1,0(yyxxyx提示:因积分与路径无关,故,)())((2yxxyxy,2)(yy由此得yd021xxd4102A)2,0(原式30二、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)统一积分变量—代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域—把曲面积分域投影到相关坐标面312.基本技巧(1)利用对称性及质心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化32例1.计算曲面积分中是球面.22222zxzyx解:2()dxzSSzyxId)(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用对称性用形心公式33例2计算ydxdzdzdxyzdydxI1322233其中是曲面)0(122zyxz的上侧。解取10:221yxz的下侧。11I由高斯公式221120006()3rdrdrrzdz2263Dxyzdxdydzd96355ozyx34例3.计算曲面积分其中,,222zyxr.:2222取外侧Rzyx解:zyxRddd313思考:本题改为椭球面1222222czbyax时,应如何计算?提示:在椭球面内作辅助小球面取2222zyx内侧,然后用高斯公式.35DyaLxo其中L为上半圆周解:LOAOAI2DdA2a沿逆时针方向.例6计算2cosyeyPxyexQxcos36例7.证明:设(常向量)则单位外法向向量,试证Sdcoscoscoscoscoscos0zyddcosxzddcosyxddcos设为简单闭曲面,a为任意固定向量,n为的Sa,nd)cos(Sand0)cos,cos,(cosn37在此过程中受力D例9.质点M沿着以AB为直径的半圆,从A(1,2)dsFWDdxdy2的大小F运动到点B(3,4),,},{xyF等于点M到原点的距离,求变力解:由图知故所求功为ABxdyydxABBAABdx3122F作用,Fy轴正向夹角为锐角,其方向垂直于OM,且与对质点M所作的功.F),(yxMBAyxoAB)(xdyydx(考研1990))1(13242:xyAB3800cosrn00rn例11.设是一光滑闭曲面,所围立体的体积是外法线向量与点(x,y,z)的向径试证证:设的单位外法向量为则coscoscosrzryrxdSrcos31vd331V的夹角,为V,39xzoy例12.设L是平面与柱面的交线从z轴正向看去,L为逆时针方向,计算解:记为平面上L所围部分的上侧,D为在xoy面上的投影.I313131223yxSzyxd)324(3222zy222xzSz