同济版大一高数下第七章第七节高阶线性微分方程

1主讲教师:王升瑞高等数学第三十一讲2高阶线性微分方程解的结构第六节一、线性齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构第七章3n阶线性微分方程的一般形式为为二阶线性微分方程.()()(),yPxyQxyfx)()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn时,称为非齐次方程;0)(xf时,称为齐次方程.复习:一阶线性方程)()(xQyxPy通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齐次方程特解齐次方程通解Yy0)(xf自由项P(x),Q(x),f(x)均为x的已知函数,P(x),Q(x)为变系数形如4])[(11yCxP][)(11yCxQ0证毕一、线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()(yxQyxPy的两个解,也是该方程的解.证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边,得][11yC22yC22yC22yC])()([1111yxQyxPyC])()([2222yxQyxPyC(叠加原理))()(2211xyCxyCy则定理1.5说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是)()(2211xyCxyCy则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.6定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数7两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使1221)()(kkxyxy(无妨设)01k线性无关)()(21xyxy常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关8定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则)()(2211xyCxyCy数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)推论.是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y9.2)0(,0)0(,,0)24(422212的特解求该方程满足解有两个特已知yyxeyeyyxyxyxx:解,,2221是两线性无关的解xxxeyey方程的通解2221xxxeCeCy2)0(,0)0(yy由特解22xxey例110例2：已知方程023yyy1、验证1,xye23,xyexey23是方程的特解。2、问xxececy321xxececy221是否是方程的解，解1、三个函数分别代入方程可知均为方程的特解。解2、由解的叠加定理可知xxececy321是方程的解，xeccy)3(21xec3只有一个常数，xxececy221其含有两个真正的任意常数，则是方程的通解。特点：312yy（常数）xeyy13（函数）若是、是否是通解。但其实质是：则不是通解。11二、线性非齐次方程解的结构)(*xy设是二阶非齐次方程的一个特解,)(*)(xyxYyY(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:将)(*)(xyxYy代入方程①左端,得)*(yY)*()(yYxP))()((YxQYxPY)(0)(xfxf)*()(yYxQ②①12)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解xCxCYsincos21对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.定理4若xyxy21,是非齐次微分方程两个相异的特解，则xyxyxy21是对应齐次微分方程的解。13定理5.分别是方程的特解,是方程)()()(1xfyxQyxPyxfxfyxQyxPy21)()()(的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理5均可推广到n阶线性非齐次方程.xfyxQyxPy2)()(14定理6.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程)()(xyxY是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解15例3.已知微分方程)()()(xfyxqyxpy个解,,,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件3)0(,1)0(yy的特解.解:1312yyyy与是对应齐次方程的解,且xexeyyyyxx21312常数因而线性无关,故原方程通解为)()(221xeCxeCyxx代入初始条件,3)0(,1)0(yy,2,121CC得.22xxeey故所求特解为有三16常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy的解,21,CC是任意;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCCD例4.提示:3231,yyyy都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)17P3311（8）,3,作业18定理7、若函数xyixyxy21是方程xfixfyxqyxpy21的解。且xyxy21与分别是xfyxqyxpy1xfyxqyxpy2与的解。推论：若xyixyxy21是方程xfyxqyxpy的解，则都是该方程的解。和虚部的实部21yyy