同济版大一高数下第七章第一节微分方程的基本概念

1主讲教师:王升瑞高等数学第二十九讲2微分方程第七章yxfy求已知,)(—积分问题yy求及其若干阶导数的方程已知含,—微分方程问题推广3微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题第七章4引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:xxy2dd①(C为任意常数)由②得C=1,.12xy因此所求曲线方程为21xy②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.5引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知,00ts由前一次积分,可得14.0)(CtdtdstV利用后两式可得因此所求运动规律为tts202.02说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求s=s(t).2122.0CtCts再积分6常微分方程(未知数是一元函数)偏微分方程(未知数是多元函数)含未知函数及其导数(微分）的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),,,,()(nyyyxF),,,,()1()(nnyyyxfy(n阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或7,00ts200ddtts引例2220.4dsdt—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程)1(00)1(0000)(,,)(,)(nnyxyyxyyxy—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解xxy2dd21xy引例1Cxy22122.0CtCts通解:tts202.0212xy特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.8例3二阶微分方程034yyy试问下列函数xxececy321.1是否是方程的解,是通解还是特解?解:分别将四个函数代入方程,均左边=右边则这四个函数均为方程的解.0,121cceyx是方程的特解.1,0213cceyx是方程的特解.xxececy321其中有两个任意常数是方程的通解.xcey其中只有一个常数,则即不是方程的通解,也不是特解.xxxceyeyey.4.3.239求曲线所满足的微分方程.例4已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为QPQxyox解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标即02xyy曲线上的点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,设法线上的任一点为(X,Y),10内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;说明:通解不一定是方程的全部解.0)(yyx有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程解;阶;通解;特解y=–x及y=C11(1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法:1)根据几何关系列方程(如:例1，4)2)根据物理规律列方程(如:例2)3)根据微量分析平衡关系列方程(P298,6)(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.2.解微分方程应用题的方法和步骤书上例2例4自学12作业P2981（1）（5）口答;2(3);5;