同济版大一高数下第七章第五节可降阶的高阶微分方程xg

1主讲教师:王升瑞高等数学第三十讲2可降阶的高阶微分方程第五节型的微分方程型的微分方程型的微分方程第七章一、二、三、3一、)()(xfyn令,)1(nyz因此1d)(Cxxfz即同理可得2)2(dCxynxd依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.21CxC型的微分方程（纯x型）4例1.解:12cosCxdxeyx12sin21Cxexxey241xey281xsin21xC32CxCxcos21CxC5),(yxfy型的微分方程设,)(xpy原方程化为一阶方程设其通解为),(1Cxp则得11(,),(,)dyyxCxCdx再一次积分,得原方程的通解21d),(CxCxy二、（缺y型）,dpypdx则6.02的通解求xyyx)(xpy设,dpypdx则方程为02xppxxpxp1][111CdxxeepdxxdxxxCx1231dxxCxy)31(12213ln91CxCx例2解7例3.求解yxyx2)1(2,10xy30xy解:代入方程得2(1)2dpxxpdx分离变量积分得,)1(lnln21xCp,30xy利用,31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10xy,12C得133xxy因此所求特解为8例4：求满足022yyx的积分曲线，使其在点（1，0）处有切线1.yx解：由题意可知此为缺y型，且1011xxyy令xpy代入原方程得22dpxpdx分离变量得22,dpdxpx111xxpy1110,Cpxxy222Cxy21021Cyx所得积分曲线为：2122xy111Cxp9三、(()),pyx),(yyfy型的微分方程令()ypyxpydd则xyypdddd故方程化为设其通解为),,(1Cyp即得分离变量后积分,得原方程的通解（缺x型）10例5.求解代入方程得两端积分得,1yCp即(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:xpydd则xyypddddyppdd1lnlnpCy(()),pyx11例6解初值问题解:令02yey,00xy10xy),(ypy,ddyppy则代入方程得积分得利用初始条件,,0100xyyp,01C得根据,ddyepxy积分得,2Cxey,00xy再由12C得故所求特解为xey1得122Cepyddyeyx12例7：求yyy212满足1,200xxyy的特解。解：方程中不含x设ydpdpyypy代入方程得ypydpdp212yydppdp212两边积分得yCp12ln1lnyCp121122yyyp11C12yp1yp注意到初始条件1yy分离变量xdyyd1两边积分212Cxy22C所求特解为212xy13.02的通解求方程yyy解将方程写成,0)(yydxd,1Cyy故有,1dxCydy即积分后得通解.212CxCy注意:这一段技巧性较高,关键是配导数的方程.例814.0)4()5(的通解求方程yxy解),()4(xPy设代入原方程,xPPxCP1解线性方程,得两端积分,得原方程通解为)()5(xPy）（0P,1)4(xCy即,21221CxCy,,2612054233251CxCxCxCxCy54233251dxdxdxdxdy例915内容小结可降阶微分方程的解法——降阶法逐次积分令,)(xpy令,)(ypy16思考与练习1.方程如何代换求解?答:令或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.例617P3231(5)(7)(10);2(3),(5);3作业