2.2.2事件的相互独立性

2.2.2事件的相互独立性高二数学选修2-31什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？2两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是什么？3若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关系如何？不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件叫对立事件.P(A∪B)=P(A)+(B)P(A)+P(Ā)=1复习回顾4条件概率5条件概率计算方法:(1)复习回顾)()()(APBAPABP包含的基本事件个数事件包含的基本事件个数事件ABAABP)((2)设事件A和事件B，且P(A)0,在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。记作P(B|A).问题探究：下面看一例在大小均匀的5个球中有3个红球，2个白球，每次取一个，有放回地取两次，此例中，事件A是否发生对事件B的概率没有影响，即P(B|A)=P(B)事件A：第一次取到红球事件B：第二次取到红球这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件求：P(A)，P(B)，P(A∩B)，P(B|A)1、事件的相互独立性相互独立事件及其同时发生的概率事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也是相互独立的注：①区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。2、相互独立事件同时发生的概率公式：“第一、第二次都取到红球”是一个事件，它的发生就是事件A,B同时发生，将它记作A∩B这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件的概率的积。一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1∩A2∩……∩An）=P（A1）·P（A2）……P（An）两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A∩B发生的概率为：)()()(BPAPBAP例1甲、乙二人各进行1次投篮比赛，如果2人投中的概率都是0.6，计算：（1）两人都投中的概率；解：(1)记“甲投篮1次,投中”为事件A.“乙投篮1次,投中”为事件B.答：两人都投中的概率是0.36且A与B相互独立，又甲与乙各投篮1次,都投中,就是事件A,B同时发生，根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到P(A∩B)=P(A)•P(B)=0.6×0.6＝0.36(2)其中恰有1人投中的概率？解：“二人各投篮1次，恰有1人投中”包括两种情况:一种是甲投中,乙未投中（事件）答：其中恰有1人投中的概率为0.48.根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是另一种是甲未投中，乙投中（事件Ā∩B发生）。例1甲、乙二人各进行1次投篮比赛，如果2人投中的概率都是0.6，计算：BA根据题意，这两种情况在各投篮1次时不可能同时发生，即事件Ā∩B与互斥，BA48.024.024.06.0)6.01()6.01(6.0)()()()()()(BPAPBPAPBAPBAP（3）至少有一人投中的概率.解法1:两人各投篮一次至少有一人投中的概率是解法2：两人都未投中的概率是答：至少有一人投中的概率是0.84.例1甲、乙二人各进行1次投篮比赛，如果2人投中的概率都是0.6，计算：84.048.036.0)()()(BAPBAPBAPP84.016.01)(1,16.0)6.01()6.01()()()(BAPPBPAPBAP的概率因此，至少有一人投中巩固练习生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的合格率是97％,从它们生产的零件中各抽取1件，都抽到合格品的概率是多少？解：设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为事件A，从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。那么，2件都是合格品就是事件A∩B发生，又事件A与B相互独立，所以抽到合格品的概率为答：抽到合格品的概率是6255826255821009710096)()()(BPAPBAP例2在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响。所以这段事件内线路正常工作的概率是答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973CBAJJJ、、解：分别记这段时间内开关能够闭合为事件A,B,C.根据相互独立事件的概率乘法式这段时间内3个开关都不能闭合的概率是027.0)7.01)(7.01)(7.01()](1)][(1)][(1[)()()()(CPBPAPCPBPAPCBAP973.0027.01)(1CBAP巩固练习1、分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同”。问：A，B，C中哪两个相互独立？巩固练习2、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：（1）甲、乙两地都下雨的概率；（2）甲、乙两地都不下雨的概率；（3）其中至少有一方下雨的概率.P=0.2×0.3＝0.06P=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56P=1-0.56=0.443.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次.求:(1)两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率:(3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.分析:设事件A为“第1次射击中靶”.B为“第2次射击中靶”.又∵A与B是独立事件.⑴“两次都中靶”是指“事件A发生且事件B发生”即A∩B∴P(A∩B）=P（A）·P（B）=（2）“至少有一次中靶”是指(中,不中),(不中,中),(中,中)即A∩B+A∩B+A∩B.∴求P(A∩B+A∩B+A∩B)（3）“至多有一次中靶”是指(中,不中),(不中,中),(中,中)即A∩B+A∩B+A∩B.∴求P(A∩B+A∩B+A∩B)（4）“目标被击中”是指(中,不中),(不中,中),(中,中)即A∩B+A∩B+A∩B.∴求P(A∩B+A∩B+A∩B)解题步骤：1.用恰当的字母标记事件,如“XX”记为A,“YY”记为B.2.理清题意,判断各事件之间的关系(等可能;互斥;互独;对立).关键词如“至多”“至少”“同时”“恰有”.求“至多”“至少”事件概率时,通常考虑它们的对立事件的概率.3.寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑加法公式,转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式,转化为互独事件)4.根据公式解答1.射击时,甲射击10次可射中8次;乙射10次可射中7次.则甲,乙同时射中同一目标的概率为_______2.甲袋中有5球(3红,2白),乙袋中有3球(2红,1白).从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是___353.甲,乙二人单独解一道题,若甲,乙能解对该题的概率分别是m,n.则此题被解对的概率是_______m+n-mn1330P(A∪B)=P(A∩B)+P(A∩B)+P(A∩B)=1-P(A∩B)0.564.有一谜语,甲,乙,丙猜对的概率分别是则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是_____41,31,517.在100件产品中有4件次品.①从中抽2件,则2件都是次品概率为___②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___(不放回抽取)③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___(放回抽取)C42C1002C41·C31C1001·C991C41·C41C1001·C10015.加工某产品须经两道工序,这两道工序的次品率分别为a,b.且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是__.(1-a)(1-b)6.某系统由A,B,C三个元件组成,每个元件正常工作概率为P.则系统正常工作的概率为____ABCP+P2-P3求较复杂事件概率正向反向对立事件的概率分类分步P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)=P(A)·P(B)(互斥事件)(互独事件)独立事件一定不互斥.互斥事件一定不独立.例1某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05,求两次抽奖中以下事件的概率：（1）都抽到某一指定号码；（2）恰有一次抽到某一指定号码；（3）至少有一次抽到某一指定号码。