矩阵基本性质

矩阵的基本性质矩阵的第⾏第列的元素为。我们⽤或（）表⽰的单位矩阵。1.矩阵的加减法（1）,对应元素相加减（2）矩阵加减法满足的运算法则a.交换律：b.结合律：()（）c.d.2.矩阵的数乘（1），各元素均乘以常数（2）矩阵数乘满足的运算法则a.数对矩阵的分配律：()b.矩阵对数的分配律：()c.结合律：()()d.3.矩阵的乘法（1），左行右列对应元素相乘后求和为C的第行第列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有b.分配律：()c.结合律：()()d.数乘结合律：()()4.矩阵的转置,()（1）矩阵的幂：,,…,()（2）矩阵乘法满足的运算法则a.()b.()c.()()d.()5.对称矩阵：即；反对称矩阵：即（1）设为（反）对称矩阵，则仍是（反）对称矩阵。（2）设为对称矩阵，则或仍是对称矩阵的充要条件=。（3）设为（反）对称矩阵，则，也是（反）对称矩阵。（4）对任意矩阵，则()()分别是对称矩阵和反对称矩阵且.（5）()6.Hermite矩阵：即̅̅̅；反Hermite矩阵，即̅̅̅a.(̅)b.()c.()̅()d.()e.()f.()()（当矩阵可逆时）7.正交矩阵：若,则()是正交矩阵（1）（2）（3）,8.酉矩阵：若,则()是酉矩阵（1）（2）||（3）,（4）9.正规矩阵：若,则是正规矩阵；若,则是实正规矩阵10.矩阵的迹和行列式（1）()∑∑为矩阵的迹；||或()为行列式（2）()()；注：矩阵乘法不满足交换律（3）()()()（4）,为酉矩阵，则()()（5）||||（6）||||（7）||||（8）||||（9）||||||（10）()()（11）||∏（12）[()],，则∑()其中为奇异分解值的特征值11.矩阵的伴随矩阵（1）设{}由行列式||的代数余子式所构成的矩阵（2）||12.矩阵的逆（逆矩阵是唯一的）（1）A的逆矩阵记作,;（2）||（为非奇矩阵）时，||（3）||且，则()（4）由，得()（5）()()（6）若||，||||（7）若是非奇上（下）三角矩阵，则也上（下）三角矩阵（8）()（9）()()（10）()()（11）Woodbury恒等式:()()（12）12.对角矩阵，矩阵为对称矩阵，正交矩阵，则()为对角矩阵或()，则∑;∑13.矩阵的导数（1）()（2）()（3）||()（4）()（5）()（6）()（7）()（8）()()（9）||()