5.1.10最简三角方程的解法

(二期课改)*1.三角方程、最简三角方程的定义:(1)三角方程----含有未知数的三角函数的方程;(2)最简三角方程----形如sinx=a,cosx=a,tanx=a的方程.*2.求解最简三角方程的基本思想方法:*由于三角函数具有周期性,故三角方程的解都有无数多个,它们构成三角方程的解集.*解最简三角方程,可利用其周期性先求出方程在一个周期上的解--(特解);就容易求得方程所有的解—(通解);一般把它表示成集合形式--(解集).*最简三角方程.,(1)a.sinxZkarcsina1kπxxk,)(**最简三角方程及其解集的复习与整理***最简三角方程的解集.Φ)-(1aZk2π2kπxx,Zk2π2kπxx,)(1a)(1a)(0a)(1aZkkπxx,*注意:*最简三角方程.*最简三角方程的解集.,(2)a.cosx)-(1a)(1a)(1a)(0a)(1aΦZk2kπxx,Zkπ2kπxx,Zk2πkπxx,Zkarccosa2kπxx,).(,(3)Raa.tanxZkarctanakπxx,----牢记最简三角方程解集,正确使用..65π6ππxπx12Zk6π2kπxx,**典型例题解析**21sinx*例题1:求方程:的解集.∴原方程的解集为:*方程解集也可表示为:.6πx11-1xy-11oZk65π2kπxx,∪Zk6π1kπxxk,)(,)(32π21arccosx1①选择一个长度为一周期的适当区间:-(后法同上例)*总结:Zk32π2kπxx,.32πx1求得方程的特解为:21cosx*例题2:求方程:的解集.1-1xy-11o.32πx2∴原方程的解集为:**典型例题解析**.,ππ.32πxx12Zk6πkπxx,*例题3:求方程的解集.33tanx∴原方程的解集为:*总结:),(2π2π.)(6π33arctanx1---(后法同前例).6πx1①选择一个长度为一周期的适当区间:求得方程的特解为:**典型例题解析**1-1xy-11o*例题4:求下列方程的解集.).,(,)((4);)((3);(2);(1)2π0x03155x.2sin14π2x.3sin1.2cos2x01.2tanx11xxkπarctankZ2（）-,Zkkπxx,62）（Zk31arcsinkπxx,8-21-213k）（）（*例题4:求下列方程的解集.).,(,)((4)2π0x03155x.2sin23)155sin(40x）解：（Zkkxk,60)1(180155000000872715，，原方程解为00036(1)123,kxkkZ,87,27,152,1,0000xxxk得取;(1)025sinxx.2sin2*策略:--解题的关键在于把原三角方程合理地转化为若干个最简的三角方程.*例题5:求下列方程的解集..(2)cosxsinx.cos2x*注意:--由于求解三角方程的途径是不尽相同的,故同一三角方程解集的表示并不是唯一的.Zk6kπxx,k1-1）（）（0)1sin)(coscos(sin2xxxx）（1sincos0cossinxxxx或22)4cos(1tanx或242xxkxkπx2kkZ或或,*例题6:已知是方程的两个根中较小的根,试求的值.01secα2xx2tanααcot解：设另一根为Zk6kπ6kπ11272或1cottansec2cottan21sin合题意时当cottan72Zk6kπ不合题意时当cottan112Zk6kπZk6kπ72原方程的解为*策略:*例题7:求下列方程的解集.;(1)1sinx.cosx利用三角变换或是代数方法把三角方程转化为最简的三角方程,然后求出其解集是求解三角方程的常用方法.;)()-((2)021x3πcosx3π.cos;(3)01cosx2x.3sin.(4)01cosxsinx.sinxcosx*提示:题(4)需进行和积互化,通过换元法求解.*例题7:求下列方程的解集.;(1)1sinx.cosx;)()-((2)021x3πcosx3π.cos;(3)01cosx2x.3sinZk,-kπxkπxx2221或）（21cosxZk,32kπxkπxx232或022sin32sin22xx212sin22sinxx（舍去）或Zk3kπxx,k1-2）（*例题2:求下列方程的解集..(4)01cosxsinx.sinxcosx*例题8:求三角方程的解集.sinxsin2xZk3π2kπxkπxx,或.21.cosxor0.sinx*解法1:原方程可转化为:得出解集为:sinxxπsin)(*解法2:由三角诱导公式可得到:得出解集为:.xπ2kπ.2xorx.2kπ2x)(Zk,3πkπ32x2kπxx或--两种解集的形式不同,但本质上是一致的.*说明:*求下列方程的解集..(4);(3);(2);(1)13.tanx5.tanx1.2cosx31.sinxZk31arcsinkπxx,k1-1）（）（Zkkπxx,322）（Zkarctan5kπxx,）（3Zkarctan13kπxx,-4）（*当a取什么值时,下列方程的解集是空集..(2);-(1)5a12a.cosx23a1.sinx123-11a）（311aa或15122aa）（63455aaa或或*1.解下列三角方程.;(1)03cos2x.7cosx;--(2)043tanxx.tan2;(3)01sinx3x.2cos2;(4)xcos.sin2x2;(5)8πsin.sin3x.-(8)0cosx1x2sin.2;(7)cosx.cos4x;(6)cosxsinx.cos2x*请同学自觉预习新课文**2.解下列三角方程.);,(-,)((1)2π2πx14π2x.sin;,2,)-((2)ππx23π4x.2cos).,(,)((3)2π0x35π2xtan3.*3.求满足方程的x的最小正解.)()(x6πcos4π2xsin*4.若关于x的方程有实数解,求实数a的取值范围.ax2cossin2xxsin22-*例题4:求三角方程的解集.sinxsin2xZk3π2kπxkπxx,或.21.cosxor0.sinx*解法1:原方程可转化为:得出解集为:sinxxπsin)(*解法2:由三角诱导公式可得到:得出解集为:.xπ2kπ.2xorx.2kπ2x)(Zk,3πkπ32x2kπxx或--两种解集的形式不同,但本质上是一致的.*说明:*1.解下列三角方程.;(1)03cos2x.7cosx;--(2)043tanxx.tan2;(3)01sinx3x.2cos2;(4)xcos.sin2x2;(5)8πsin.sin3x;(6)cosxsinx.cos2x23cos31cosxx或Zkx,31arccos2kπx1tan4tanxx或Zkxkxx44arctan或π03sin3sin22xx23sin3sinxx或Zkxx3k)(π21tan0cosxx或Zkkxkxx,21arctan2或π)8(23823kxkx或Zkkxkxx,247322432ππ或1sincos0sincosxxxx或22)4cos(1tanxx或Zkkxkx,4244或Zkkxkxkxx,2224或或π*1.解下列三角方程.;(7)cosx.cos4xZkxkxxkx,2424或Zkkxkxx,5232ππ或*2.解下列三角方程.);,(-,)((1)2π2πx14π2x.sin;,2,)-((2)ππx23π4x.2cos).,(,)((3)2π0x35π2xtan3.Zkkxkx,2342242即230xk时取Zkkxkx,42344234或Zkkxkx,4824872或得，分别取10k，，，，4831482548748Zkkx,352Zkkx,1542得，，，取4321),2,0(kx152630371511307，，，*3.求满足方程的x的最小正解.)()(x6πcos4π2xsin*4.若关于x的方程有实数解,求实数a的取值范围.ax2cossin2xxsin22-)3sin42sinxx（）（)62sin42sinxx（）（Zkxkxxkx,)3(2423242或Zkkxkxx,361332122或π12x最小整数解为xxxa22cos22sinsin212cos232sinxx21)2sin(213x21213,21213a**求解三角方程的典型例题解析***例题8:求下列方程的解集.;)((1)02x6π.cos;)((2)150x.tan;)((3)14π2x.3sin.,,)((4)2π0x16π3xcos2.*总结:①解三角方程的前提是理解和牢记最简三角方程的解集;②结合上例强调解三角方程时的注意事项.;-(1)02cosx.3sinx;--(2)0x2cos3sinxcosxx.2sin22.--(3)14sin2xx.6sin2*策略:上述三角方程中由于同时含有sinx、cosx而且能使cosx=0的x的值不是方程的解,故可利用化切法转化方程后求解,解法比较简洁.*例题9:求下列方程的解集.;-(1)02cosx.3sinx;--(2)0x2cos3sinxcosxx.2sin22.--(3)14sin2xx.6sin2*策略:上述三角方程中由于同时含有sinx、cosx而且能使cosx=0的x的值不是方程的解,故可利用化切法转化方程后求解,解法比较简洁.*例题3:求下列方程的解集.105106P作业:导学