第七章课件.ppt

控制原理（II）王晶[e-mail]信息学院学时：48（包含上机4学时）自动控制原理厉玉鸣等主编，化学工业出版社，2005年•自动控制原理（第四版）胡寿松主编，国防工业出版社，2002年•自动控制原理孙亮等主编，北京工业大学出版社1999年控制原理例题习题集，周春晖，厉玉鸣主编，化工出版社（归纳总结，例题分析）自动控制原理实验指导书，本校自动化系编学习方式：教材：参考书：习题集：实验指导书：授课、习题、实验、考试第7章状态空间分析设计方法线性系统理论的两大分支经典控制论现代控制论数学基础拉普拉斯变换线性代数、矩阵分析系统模型传递函数状态空间表达处理域频域时域应用对象SISO系统MIMO系统本章主要内容——现代控制论的重要分支：状态空间设计方法•系统模型状态空间模型的建立、与传递函数描述之间的相互转化；•系统分析状态空间运动分析；能控性和能观性的基本概念与判据、能控、能观标准形及结构分解；•系统综合基于状态空间模型的控制系统设计方法——极点配置和观测器设计。第一节线性系统的状态空间数学模型7.1.1系统状态空间表达的基本概念7.1.2线性系统的状态空间描述7.1.3由机理分析建立状态空间表达式7.1.4由微分方程建立状态空间表达式7.1.5由传递函数建立状态空间表达式7.1.6状态空间表达式与传递函数矩阵7.1.1系统状态空间表达的基本概念表示系统在过去、现在和未来时刻的状况状态能够完全描述系统行为的最小一组变量，只要给定了当前时刻的这组变量以及未来时刻作用在系统上的输入，那么系统在未来任意时刻的行为就可以完全确定。状态变量选取的不唯一性以完全表征系统的状态变量为元构成的向量就是状态向量状态向量)()()()(21txtxtxtxn以n个状态变量为基底所构成的n维空间就称为状态空间，状态空间中的一点就代表系统在某一特定时刻的状态。状态空间7.1.2线性系统的状态空间描述•外部描述——传递函数：不表征系统的内部结构和内部变量，只反映外部变量组输入与输出间的因果关系•内部描述——状态空间，能够完全表征系统的一切动力学特征：不完全描述完全描述（1）状态方程：输入作用引起系统状态发生变化，通常为动态过程，可以采用微分方程来表示：（2）输出方程：状态和输入的改变决定了输出的变化，通常属于变量之间的相互转换，可用一般的代数方程表示：)()()(tButAxtx)()()(tDutCxty系统状态空间描述的结构示意图问题：1什么是状态？2状态是否唯一？1两种描述方式的比较：例1．考虑传递函数11)(ssH系统不稳定，欲使其稳定，可在H（s）前面串联一个补偿器得：11)(sssHc111111)()(sssssHsHc系统结构图：理论上，零极点对消，系统稳定实际中，系统往往会出现失效或达到饱和从状态空间的角度分析上述实现中主要变量的演变过程系统状态方程为21222112xyvxxuxxvxx求解可得：)(5.0)(,2)(10202101vexeexetxyvexetxtttttt为卷积运算7.1.3由机理分析建立状态空间表达式•建立状态空间表达式的方法:一是机理分析，选择适当的状态变量，建立其状态空间表达式；二是由其他已知的系统数学描述转化得到状态空间表达式。例：试列写下面两种简单系统——电路系统和力学系统的机理方程，选择适当的变量作为状态变量，并建立相应的状态空间表达式。解：(1)弹簧-质量-阻尼器系统，外加拉力Fi为输入，质量单元的位移y为输出，根据牛顿第二定律可得:其中合力：整理得：选定变量：得到状态方程：22ddtymFmafkiFFFFkyFktyfFfddiFkytyftymdddd22121xyxyx,,yyFuiumxmkxmftxxtx1dddd12221212121011010xxyumxxmfmkxxx(2)RLC电路，设ei为输入，电压ec为输出，根据基本电路定律有：选择状态变量为，可推导出2个一阶微分方程组：写成状态方程：再根据输出，可得相应的输出方程为：2110xxCy112211010RxxxuLLCLxx12211dd11ddxtxuLxLCxLRtxiedtiCRitiL1ddidtxix21,dtiCeyc1值得注意的是：状态变量选择的不同，得到的状态空间表达式也是不同的，这点与传递函数所代表的外部描述不同，对于一个系统，如果输入和输出确定，那么传递函数就是唯一确定的，而状态空间描述则根据状态变量选择的不同而不同，同一个系统可以具有不同的状态空间表达式。问题：例如上面例题中提到的RLC电路，如果以作为一组状态变量，则状态空间表达为…..?cexix21,代数等价：给定一线性定常系统，如果引入一非奇异变换：其中P是非奇异矩阵，经过状态变换后，系统可以写成•系统的不同的状态空间描述就是同一个系统在不同的坐标系下的表征),,,(DCBA,Pxx1PAPxPBu•由于坐标系的选择带有人为的性质，而系统的特性却带有客观性，因此系统在坐标变换下的不变性和不变属性就反映出系统的固有特征。1()APxBuxx()AxBuPAxBuyCxDu1PxDuCxDu那么就称这两个状态空间描述是代数等价的。27.1.4由微分方程建立状态空间表达式仅限于单输入单输出线性定常系统：ububyayaymmnnn0)(0)1(1)(......引入微分算子dtdp/，则系统可以写成:......010111ubpubupbyapyaypaypmmnnnuapapapbpbpbynnnmm011101......分情况讨论：Case1：当mn时则系统方程可以改写为：~~...~~~...~~0)1(1)(0)1(1)1(1)(ybybybyuyayayaymmnnn引入中间变量：uapapapynnn0111...1~uapapapbpbpbynnnmm011101......选取状态)1()1(21~,,~,~nnyxyxyx可以得到系统的状态空间描述：xbbyuxaaaxmn0,100100000100110(1)12(2)23(1)1()(1)(1)11011201()(1)1011201............nnnnnnnnnmmmmxyxxyxxyxxyayayayuaxaxaxuybybybybxbxbx~~...~~~...~~0)1(1)(0)1(1)1(1)(ybybybyuyayayaymmnnnCase2：当m＝n时首先将系统方程有理分式严格真化：uapapapabbpabbpabbbynnnnnnnnnn01110011111...)()(...)(按照上面的算法可以转换成状态空间形式，经过中间变量的作用，上式可以写成下面的形式：y~ubyabbyabbyabbyuyayayaynnnnnnnnnn~)(~)(...~)(~~...~~00)1(11)1(110)1(1)1(1)(选择与mn情况下相同的状态变量：)1()1(21~,,~,~nnyxyxyxubxabbabbyuxaaaxnnnnnn1100110,10010000010上述严格真有理分式按照上面的算法可以转换成状态空间形式，状态是一样的，得到的状态方程表达形式也是一样的，唯一不同的就是输出方程中比mn情况多了一项：状态方程为：ubxabbabbubyabbyabbyabbynnnnnnnnnnnn110000)1(11)1(11~)(~)(...~)(ubn优点：利用控制系统的微分方程系数直接列写出系统的状态空间表达式。举例：写出下列系统的状态空间表达解：上述两个系统分属于mn和m=n两种情况，按照上面的算法可以直接转换成状态空间形式如下：mnbbaa,,,,,010uyyyy2672uuuyyyy426116xyuxx002,1002761000101系统uxyuxx282210,10061161000102系统7.1.5由传递函数建立状态空间表达式•传递函数是描述线性定常系统动力学特性的一种重要频域模型，如何将其化为系统的状态空间描述，称为“实现”，应该特别重视。•方法：首先将系统的传递函数进行反拉氏变换，得到输入/输出微分方程表达式，然后利用上节介绍方法将微分方程表达式转化为状态空间表达式•对于单输入/单输出系统的传递函数，可能存在这样的情况：传递函数分子和分母多项式有可约去的因子（即零点、极点可以对消），那么此传递函数的实现可以选取不同维数的状态变量，把系统状态变量数目最少的实现称为“最小实现”。例：求状态空间实现：3233()(2)(1)(3)656ssGsssssss323()()656sYsUssss32()6()5()6()()3()sYssYssYsYssUsUs(3)6563yyyyuu01000010,6561310xxuyx传递函数微分方程状态方程能控标准型实现能控，不能观消去传递函数中的可约因子(s+3)得：211()(2)(1)32Gsssss最小实现：21()()32YsUsss2()3()3()()sYssYsYsUs32yyyuxyuxx01,103210传递函数微分方程状态方程最小实现能控，能观37.1.6状态空间表达式与传递函数矩阵•传递函数只能用来描述单输入/单输出线性定常系统的动态特性，而实际的控制系统可能是多输入/多输出的线性定常系统，若不考虑内部状态信息，其动态特性通常采用传递矩阵来进行描述：1112112()()()()()()()()()mpppmGsGsGsYsGsUsGsGsGsU100系统Y1…Yp11121112()()()()()()()()mpppmmGsGsGsUsGsGsGsUs11111()()()()()ppYsGsUsYsGs0U2011222()()()()()ppYsGsUsYsGs00Um11()()()()()mmppmYsGsUsYsGs1()()pYsYs11111()()()()()()mmppmGsGsUsUsGsGs•在初始条件为零的情况下，系统状态矩阵(A,B,C,D)与传递函数矩阵之间的关系为：DBAsICsG1)()(原因：()()()()()()sXsAXsBUsYsCXsDUs