不等式与不等关系课件

第1页共65页不等式第一讲不等关系与不等式第2页共65页知识点归纳1.不等式的定义在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号_____________连接两个数式或代数式以表示它们之间的不等关系,含有这些不等号的式子,叫做不等式.＞≤＜≤≠第3页共65页2.比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有a-b0⇔________;a-b=0⇔________;a-b0⇔________.另外,若b0,则有1⇔________;⇔________;1⇔________.注意:在应用作差法比较实数大小时,一定要变到能直接判断差的符号为止,变形过程中要保持等价性.ab1abababa=bababa=bab第4页共65页3.不等式的性质性质1:对称性如果ab,那么b____a;如果ba,那么a____b.性质2:传递性如果ab,且bc,那么a_____c.也可等价表示为:如果cb,且ba,那么c____a.性质3:加法法则如果ab,那么a+c____b+c.第5页共65页推论1:移项法则如果a+bc,那么a_____c-b.推论2:同向可加性如果ab,且cd,那么a+c____b+d.性质4:乘法法则如果ab,且c0,那么ac______bc;如果ab,且c0,那么ac____bc.第6页共65页推论1:同向可乘性如果ab0,且cd0,那么ac____bd.推论2:乘方法则如果ab0,那么an_____bn(n∈N*,且n1).推论3:开方法则如果ab0,那么____(n∈N*,且n1).注意:运用上述性质解决问题时,必须注意性质成立的条件.如:同向不等式相乘时,注意ab0,cd0.nanb第7页共65页基础训练1.设a0,b0,已知m∈(b,a)且m≠0,则的取值范围是()A.(,)B.(,-)C.(,0)∪(0,)D.(-∞,)∪(,+∞)1b1a1a1b1b1a1b1a解析:因为0的倒数无意义,因此我们先将区间(b,a)分成两部分:(b,0),(0,a)分别求倒数可得(-∞,),(,+∞),故选D.1b1a答案:D1m第8页共65页2.已知a≥b,则可以推出()A.≥B.ac2≥bc2C.D.(ac)2≥(bc)21a1b2acb2c答案:B第9页共65页3.“a2且b2”是“a+b4,且ab4”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A第10页共65页4.若x+y0,a0,ay0,则x-y的值为()A.大于0B.等于0C.小于0D.符号不能确定答案:A第11页共65页5.已知a,b,c满足cba,且ac0.那么下列选项中一定成立的是()A.abacB.c(b-a)0C.cb2ab2D.ac(a-c)0答案:A第12页共65页类型一:用不等式表示不等关系第13页共65页解题准备:1.我们用数学符号“≠”、“”、“”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子,叫做不等式.2.a≤b的含义是指“或者ab,或者a=b”,等价于“a不大于b”;a≥b的含义是指“或者ab,或者a=b”,等价于“a不小于b”.第14页共65页例1某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车,计划使用不超过1000万元的奖金购买单价分别为40万元､90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要,A型汽车至少买5辆,B型汽车至少买6辆,写出满足上述所有不等关系的不等式.第15页共65页(1)将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系.常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表:文学语言数学符号文字语言数学符号大于＞至多≤小于＜至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤第16页共65页(2)注意区分“不等关系”和“不等式”的异同,不等关系强调的是关系,可用“”､“”､“≥”､“≤”､“≠”表示,不等式则是表现不等关系的式子,对于实际问题中的不等关系可以从“不超过”､“至少”､“至多”等关键词上去把握,并考虑到实际意义,本题中就容易忽视x,y∈N*.第17页共65页类型二:不等式性质的应用解题准备:不等式的性质就其逻辑关系而言,可分为推出关系(充分条件)和等价关系(充要条件)两类,同向可加性和同向可乘性可推广到两个或两个以上的不等式,同向可乘时,应注意ab0,cd0.深刻理解不等式的性质时,把握其逻辑关系,才能正确应用不等式性质解决有关不等式的问题.第18页共65页例2.下列各命题是否成立?如不成立,能否适当添加条件使命题成立?(1)若ac2bc2,则ab;(2)若ab,则-ac-bc;(3)若ab,则;(4)若ab,cd,则acbd.1ab1解：(1)命题成立(2)“c0”(3)“ab0”(4)需添加“c0,b0”或“a0且d≥0”或“c0且b≥0”可使命题成立.对照不等式的运算性质,还可添加“b≥0且d≥0”也可使命题成立.第19页共65页练习已知三个不等式：ab0，bc－ad0，(其中a，b，c，d均为实数)．用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3第20页共65页•解析：设ab0为①，bc－ad0为②，•若①②成立，则(bc－ad)0，•若①③成立，则•即bc－ad0，即②成立；第21页共65页•若②③成立，则由③得•由②bc－ad0得ab0，•即①成立．故正确命题个数为3个，选D.第22页共65页类型三:比较大小解题准备:作差法比较大小的步骤是:作差→变形→判断差的符号→下结论.作商法比较大小的步骤是:作商→变形→判断商与1的大小→下结论.其中变形是关键,变形方法主要是通分,因式分解和配方等,变形要彻底,要有利于与0或1比较大小.第23页共65页例1.设a,b是不相等的正数,A=,G=,H=,Q=,试比较A､G､H､Q的大小.ab2ab111ab222ab2第24页共65页第25页共65页探究：设f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2(x0且x≠1),试比较f(x)与g(x)的大小.第26页共65页分析：化为同底数的对数,作差比较.解：比较两对数的大小,应联想对数的性质及对数函数的单调性.f(x)-g(x)=1+logx3-2logx2=logx3x-logx4=logxx,34第27页共65页(2)当logxx=0时,即x=1,也就是x=时,f(x)=g(x).(3)当logxx0时,即也就是1x时,f(x)g(x),综上,x或0x1时,f(x)g(x);x=时,f(x)=g(x);1x时,f(x)g(x).3434433443434343第28页共65页评析：(1)比较两实数(或两代数式值)的大小常用的方法是作差比较或作商比较.(2)作差比较的基本步骤:作差——变形——判断符号——结论.此方法的关键是变形,常用到的知识有对数的运算性质､多项式的因式分解等;判定符号常用的知识有函数的单调性､不等式的性质､二次三项式的取值等,当式子随x的取值变化而发生符号改变时,要注意分类讨论.第29页共65页练习1.甲､乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度､跑步速度均相同,则()A.甲先到教室B.乙先到教室C.两人同时到教室D.谁先到教室不确定答案:B第30页共65页2.下列大小关系正确的是()A．0.4330.4log40.3B．0.43log40.330.4C．log40.30.4330.4D．log40.330.30.43解析：30.410.430log40.3，故选C.答案：C第31页共65页[例2](1)若xy0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小；(2)设a0，b0且a≠b，试比较aabb与abba的大小．解析：(1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)∵xy0，∴xy0，x－y0，∴－2xy(x－y)0，∴(x2＋y2)(x－y)(x2－y2)(x＋y)第32页共65页•(2)根据同底数幂的运算法则．综上所述，对于不相等的正数a、b，都有aabbabba.第33页共65页•已知a、b、c满足：a、b、c∈R＋，a2＋b2＝c2，当n∈N，n2时，比较cn与an＋bn的大小结果为________．第34页共65页第35页共65页类型四:利用不等式的性质求范围解题准备:1.在处理此类问题时,严格根据不等式的基本性质和运算法则,是正确解答此类题目的保证.2.此类问题中的参数不是相互独立的,而是相互制约的,故不可分割开来.应先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”不等式关系的运算求得待定整体的范围.这是避免此类题目出错的一条途径.第36页共65页例1.设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.分析：利用f(-1)与f(1)表示出a,b,然后再代入f(-2)的表达式中,从而用f(-1)与f(1)表示f(-2),最后运用已知条件确定f(-2)的取值范围.此题还可用线性规划求解.第37页共65页法一:设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,于是得解得∴f(-2)=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.mn4nm2,m3n1,第38页共65页第39页共65页第40页共65页评析：此题易有如下错误解法;由第41页共65页第42页共65页[例2]已知函数f(x)＝x3＋x，(x∈R)，(1)指出f(x)在(－∞，＋∞)上的奇偶性及单调性；(2)若a，b，c∈R，且a＋b0，b＋c0，c＋a0，判断f(a)＋f(b)＋f(c)的符号．第43页共65页•解析：(1)由定义知，f(x)为奇函数，且为增函数．(2)∵a＋b0，∴a－b，∴f(a)f(－b)＝－f(b)，同理，由b＋c0，得f(b)－f(c)，由c＋a0得，f(c)－f(a)，相加得f(a)＋f(b)＋f(c)－[f(a)＋f(b)＋f(c)]，即f(a)＋f(b)＋f(c)0.点评：应用函数的单调性也是比较数的大小中常用的方法．第44页共65页练习：若1a3，－4b2，那么a－|b|的取值范围是()A．(－1,3)B．(－3,6)C．(－3,3)D．(1,4)[答案]C[解析]由－4b2⇒0≤|b|4，－4－|b|≤0，又1a3.∴－3a－|b|3.故选C.