高中数学思想方法专题--解析版

高中数学思想方法及解题策略数学能力就是数学的思想方法。数学思想方法是策略性知识，发展学生智力最经济、有效的方法就是培养学生应用策略性知识的能力“少考一点算，多考一点想”，实质是加重对“数学思想方法”的考查近几年高考卷中出现的数学思想方法有：（1）数形结合。（2）分类讨论思想。（3）方程思想。（4）函数建模思想（5）化归思想一、函数与方程思想1．函数是中学数学的主线。可以说无处不函数，高考函数比重每年都较大著名数学家克莱因说过：一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情就是用变量和函数来思考。函数思想是一个重要的基本数学思想，其重要性不仅表现为五个基本初等函数的研究占据了高中数学的中心地位，而且还表现为：①方程或不等式可作为有关函数的零点、单调性、正负区间或极值来处理②数列作为特殊的函数，一直处于高考的热点上③作为函数概念的基础——集合与映射，已在高考中作为数学基本语言、数学基本工具而大量出现④其他数学问题，特别是体现参数讨论或运动观点的问题，常可用函数思想来分析或用函数方法来解决函数在高考中的重要地位：试题以函数为主线，不仅题量较多，而且高难题常与函数直接联系函数思想在解题中的应用，主要表现在两个方面：①借助于有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题②在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的2．高考中的方程问题包括方程的求解与方程观的应用分成逐渐提高的4个层次：第一层次：解方程第二层次：带参变数的方程的讨论第三层次：转化为方程的讨论第四层次：构造方程求解问题例1：一等差数列的前10项和为100，前100项的和为10，求该数列前110项的和.（110110S）分析：本例常规解法有二：一是依dnnnaSn2)1(1列出关于1a、d的方程组，求出1a、d，再代入公式求110S．二是利用10S，2011S，3021S,……成等差数列，求出新数列的公差，然后求新数列前11项的和．若注意到等差数列中dnanSn211，可知nSn是n的一次函数，于是可用一次函数的图象——直线求解．解：由条件10S=100，100S=10．∵nSn仍是等差数列，∴)10,10(10S，)100,100(100S,)110,110(110S三点共线，于是有101101011010100101001011010100SSSS，即10110101101010010101110S，解得110110S．例2：已知关于x方程02cossin2axax总有解，则实数a的取值范围是．（3240a）分析：设txcos，转化为关于t的一元二次方程0122aatt．令12)(2aatttf,则问题转化为二次函数)(tf与横坐标轴在1,1上有交点的问题，可用根的分布解决，要注意有两种情况．若将原方程化为：xxacos2cos12（分离系数法）xxxxcos23cos2cos23cos42xxcos23)cos2(4324．显然又有0a，故3240a．例3：已知)(131211*NnnSn，设112)(nnSSnf，试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的正整数n，不等式2)1(log)(mnfm－2)1(log2011mm恒成立．（2,251mm且）分析：本例)(nf无法求和，常规数列方法不起作用，需用非常规手段．注意要使不等式2)1(log)(mnfm－2)1(log2011mm恒成立，只需不等式：2min)1(log)(mnfm－2)1(log2011mm恒成立．问题转化为求min)(nf，这又是一个非常规问题．注意1n，可猜测)2()(minfnf,怎样证明这个结论？可联想用函数单调性证明)(nf是增函数，这样把问题转化为解不等式，得到2,251mm且．注：在有关不等式问题中，要区分以下命题：①)(xfa恒成立max)(xfa；②)(xfa恒成立min)(xfa；③)(xfa有解max)(xfa；④)(xfa有解min)(xfa.对于“恒成立”的不等式，一般地，解决的途径为：分离系数——求最值例4：我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的．某市用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费。若每月用水量不超过最低限量3am时，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元；若用水量超过3am时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元，该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用如下表所示：月份用水量／（3m）水费（元）1992151932233根据上表中的数据，求cba,,．（10a，2b，1c）分析：设每月用水量为3xm，支付费用为y元，则：)2()()(8)1()(8axcaxbaxcy由题意知：50c，∴138c．由表知第2、3月份的费用均大于13元，故用水量315m、322m均大于最低限量3am，将22,15xx分别代入(2)式得cabcab)22(833)15(819)3(192,2cab再分析1月份的用水量是否超过最低限量．若9a，将9x代入(2)式172)9(289caca与(3)矛盾∴a9，即1月份的付款方式应选(1)式．则98c，∴1c故10a，2b，1c例5：已知0lglg4lg2cbbaac，求证：2bac．分析：cbbabaclglg2．从方程观点来看，以balg、cblg为根的二次方程应有判别式等于零，对照已知条件，恰好是判别式的形式．证明：已知条件表明，以balg、cblg为根的二次方程ocbxbaxlglg0lglglg2cbbaacxx有判别式等于零，故得两根相等cbbalglg，从而有2bac．例6：设cba且0cba，抛物线cbxaxy22被x轴截得的弦长为l，证明：323l．分析：（1）由于弦长l是与a，b，c有关的变量，若能建立),,(cbafl的表达式，那么结论相当于确定函数l的值域．（2）为确定函数的值域，需完成三件事：①求出变量l的解析式；②确定解析式中的自变量及其取值范围；③由以上两项推出求证式．证明：在cbxaxy22中，∵cba且0cba，∴0,0ca．∴0442acb.故方程022cbxax必有两个不等实根1x、2x，则2122122124)()(xxxxxxlacab224acaca22)(432142ac．显然2l是ac的二次函数，由cba且0cba可得212ac，再由二次函数的单调性知，当21ac时2l是单调递减的。∴32124321214222l，即1232l．但0l，故323l．二、数形结合思想华罗庚先生指出：数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题得到解决数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，高中阶段用得较多的是“以形助数”1．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：①建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解；②转化为熟悉的几何模型来求解；③构造几何模型来求解．2．数形结合的主要渠道有：①绝对值、二次根式所蕴含的距离问题；②解析几何中定比分点、斜率、曲线与方程、区域与不等式；③函数与其图象间的几何变换；④向量的几何意义；⑤三角函数中单位圆中的三角函数线及正、余弦函数的图象变换；⑥复数的几何意义；⑦立体几何模型．其中以②、③为背景来实现其对应关系的转化最为普遍，是中学数学数形结合思想方法的最重要的部分．3．数形结合思想常联想的数学模型：①联想一元一次函数图像；②联想一元二次函数图像；③联想定比分点公式；④联想斜率公式；⑤联想两点间的距离公式；⑥联想点到直线的距离公式；⑦联想直线的夹角公式．4．数形结合思想常可以构造的几何模型：①构造单位圆解题；②构造椭圆解题；③构造双曲线解题；④构造抛物线解题；⑤构造三角形解题；⑥构造物理知识模型．5．高考中，用数形结合思想的题常有下面几种类型：①利用图形求值；②利用图形求解的个数；③利用图形求参数的范围；④利用图形解不等式；⑤利用图形求最值；⑥利用方程、点的坐标研究图形的关系、形状等；⑦利用函数式研究图像的性质等等．难点在于学生参与数与形的体验水平转化是目的，作图是基础，识图是关键例7：已知01yx，则22)1()1(yx的最小值是．（223）分析：如果将22)1()1(yx看成是两点间的距离，那么我们头脑中立即构造了一个几何模型：点)1,1(到直线01yx的距离即为满足题设条件的最小值．易知2232111d．例8：（2000年全国）函数axxxf1)(2，其中0a．①解不等式1)(xf；②证明：当1a时，函数)(xf在区间,0上是单调的．分析：①可以用常规解题思路进行，也可以运用图像法解不等式．②常规解题思路是用函数单调性的定义证明，但若用导数证明将十分简单．axxxf1)('2，当x,0时1,012xx，又1a，∴0)('xf,故)(xf在区间,0上是单调递减函数．例9：函数)2)(2sin()(xAxf对任意实数x有)3()3(xfxf，且图像过点)1,0(，则A的值为（）（B）1)(A2)(B332)(C3)(D分析：由条件知3x是函数)(xf的对称轴，即1)32sin(．而6732622，∴只有1)32sin(，且232，∴6．∵图像过点)1,0(得)6sin(1A，∴2A．∴选（B）例10：当曲线241:xyE与直线4)2(:xkyl有两个交点时，实数k的取值范围是（）（B）),125)((A]43,125)((B)125,0)((C]43,31)((D分析：作出图像，由图像知：PBPAkkk，又43,125PBPAkk，∴选（B）例11：已知变量x，y满足0520402yxyxyx，求：①42yxz的最大值；（21）yPABox②251022yyxz的最小值；（29）③112xyz的取值范围．（27,43）分析：准确理解目标函数的几何意义，作出满足条件的区域．本题：①是利用直线在y轴上的截距作转化②是利用两点间的距离作转化③是利用过两点的直线的斜率作转化例12：如果实数a、b、c、d满足：044404422222dcdcbaba，求2)(ca＋2)(db的最大值和最小值．分析：本题若用代数方法求解将十分困难，但若联系图形来解则可化难为易．由条件，得4)2()2(1)2()1(2222dcba，因此，),(ba可视为圆1)2()1(22yx上的动点，),(dc可视为圆4)2()2(22yx上的动点，而2)(ca＋2)(db是),(ba、),(dc两点间距离的平方，于是，过两圆圆心)2,1(1C、)2,2(2C作直线分别与两圆相交，则：64)215(212221CCman