平均值与有效值精辟解释

平均值與有效值平均值(averagevalue)簡稱av，乃一週期信號的平均高度，使用一般直流電表測量交流信號，所測得的數值即為該交流電的平均值，所以又稱為直流(DC)值。一般的週期信號其平均值的計算為)(即週期一週的時間一週波形的面積和平均值=但是對於上下對稱的波形例如正弦波、方波、三角波等而言，其正負半週面積相等，正負抵銷後面積和為0，因此對於這些波形，其平均值的計算為半週的時間半週波形的面積和平均值=對於方波和三角波，我們可以用簡單的幾何公式算出其面積方波半週的面積為Vm×π，故其平均值mmavVVV=×=ππ三角波半週的面積為21Vm×π，故其平均值221mmavVVV=×=ππ至於正弦波則必須用積分來計算其半週面積mmVtdtVA2sin0==∫πω所以平均值πmavVV2=0vVm-Vmπ2πωt0vVm-Vmπ2πωt0vVm-Vmπ2πωt有效值(effectivevalue)簡單而言即代表此一交流電相當多大數值的直流電所做的功，一有效值10V的交流電與一10V的直流電對相同負載在相同時間下所做的功相同。若有一週期為T的交流電壓，在一週期時間內對一負載R所做的功為∫=⋅=⋅=TdttvRTRvtPW022)(1而在同一時間直流電壓V對負載R所做的功為TRVtPW⋅=⋅=2若兩者做功相同∫=TdttvTV022)(則可獲得TdttvVT∫=02)(而這個電壓即為交流電的有效值，因其計算過程為先將週期函數平方，再求出面積除以週期（即計算平均值的意思），最後開根號，所以又稱均方根值(root-mean-square，簡稱rms)。因為RIRVP22==，所以在計算電流的平均值時，也是先取其平方，然後平均最後開根號，所以計算式和電壓相同。而在正弦波、方波、三角波三種基本波形中，也只有方波在平方之後能用簡單的幾何公式求出其面積A=π22×mVmmrmsVVV=×=ππ222而正弦波與三角波在還不熟悉積分運算之前，就先將其結果背下來正弦波2mrmsVV=三角波3mrmsVV=0vVm-Vmπ2πωt0v2Vm2π2πωt接下來我們來看以下的波形在時間0~2之間為一正弦波，峰值為10，所以其有效值相當於07.7210≅的直流，在時間2~3之間為一方波，峰值為-5，所以其有效值相當於-5的直流（也可以是+5，為什麼?)，在時間3~5之間為一三角波，峰值為10，所以其有效值相當於77.5310≅的直流。因此上述交流電的有效值便相當於如下波形有效值而這個波形的有效值，便可比照方波的算法，將其平方，平均再開根號2.61557552)3/10(1)5(2)2/10(222≅=×+×−+×=rmsV因此我們可以將一些已知其有效值算法的波形組合，寫出如下公式TtVtVtVVnnrms2222121+++=LV1至Vn代表各區間波形的有效值，t1到tn為每一段波形所佔的時間。如果波形是一直流加上一交流信號，則其有效值又該如何計算這是一個10V的直流加上一峰值5V的正弦波所構成的信號ttvωsin510)(+=0v1012t3456-507.0712t3456-55.7715105tttvωω2222sin5sin510210)(+××+=所以當我們以有效值公式來計算時TdttvVTrms∫=02)(第二項tωsin100為一正弦波，正負對稱其整週平均為0，那代表信號平方之後求其平均時，只剩下10（直流）的平方與tωsin5（交流）的平方，所以我們可以將其有效值表示成22)()(交流成份有效值直流成份+=rmsV則上述波形的有效值為6.10)2/5(1022≅+=rmsV研究至此，你應該有能力可以算出為何半波整流的有效值2mrmsVV=Vm