2012人教版数学中考复习课件-第一章-数与式-1.3因式分解

第3课因式分解1．因式分解：把一个多项式化成几个的形式，叫做因式分解．因式分解与是互逆运算．2．基本方法：(1)提取公因式法：ma＋mb＋mc＝．(2)公式法：运用平方差公式：a2－b2＝；运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝.要点梳理整式积整式乘法m(a＋b＋c)(a＋b)(a－b)(a±b)23．因式分解的一般步骤：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式来分解；(3)分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这些统称分解彻底．(4)注意因式分解中的范围，如x4－4＝(x2＋2)(x2－2)，在实数范围内分解因式，x4－4＝(x2＋2)(x＋)(x－)，题目不作说明的，表明是在有理数范围内因式分解．221．正确理解因式分解的意义理解因式分解的意义，应注意：(1)因式分解与整式乘法是个相反的过程，因式分解的左边是多项式，右边是几个因式的积，不含其它运算；(2)因式分解不含非整式的式子；(3)因式分解是个恒等变形的过程，从左到右的变形不能改变原式的大小．[难点正本疑点清源]2．注意提取公因式法、运用公式法的要点多项式因式分解往往需要对一些隐含的公因式(如互为相反数的因式)进行调整变形，其依据是乘方的符号法则，变形时一般要进行观察，需要调整项的标准有两个：(1)使需要调整的项尽量少；(2)尽量调整指数为偶数的项，这样可以减少符号变化带来的麻烦及错误；平方差公式主要运用于二项式的因式分解，完全平方公式主要运用于三项式的因式分解．分解因式必须分解到不能再分解为止，特别是一些比较隐晦的，或者在解答过程中新出现的公因式要引起重视．解题结果的简单明了是解题的基本要求之一，这样才可能使解题的答案具有唯一性，所以因式分解的结果中的每一个因式必须是最简形式．1．(2011·河北)下列分解因式正确的是()A．－a＋a3＝－a(1＋a2)B．2a－4b＋2＝2(a－2b)C．a2－4＝(a－2)2D．a2－2a＋1＝(a－1)2解析：a2－2a＋1＝a2－2·a·1＋12＝(a－1)2，是完全平方公式．基础自测D2．(2011·天门)把代数式ax2－4ax＋4a分解因式，下列结果中正确的是()A．a(x－2)2B．a(x＋2)2C．a(x－4)2D．a(x＋2)(x－2)解析：ax2－4ax＋4a＝a(x2－4x＋4)＝a(x－2)2.A3．(2011年北京四中模拟)把a3－ab2分解因式的正确结果是()A．(a＋ab)(a－ab)B．a(a2－b2)C．a(a＋b)(a－b)D．a(a－b)2解析：a3－ab2＝a(a2－b2)＝a(a＋b)(a－b)．C4．(2011·金华)下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是()A．x2＋1B．x2＋2x－1C．x2＋x＋1D．x2＋4x＋4解析：只有x2＋4x＋4＝x2＋2·2x＋22＝(x＋2)2是完全平方式．D5．(2011·天津)若实数x、y、z满足(x－z)2－4(x－y)(y－z)＝0，则下列式子一定成立的是()A．x＋y＋z＝0B．x＋y－2z＝0C．y＋z－2x＝0D．z＋x－2y＝0解析：左边＝[(x－y)＋(y－z)]2－4(x－y)(y－z)＝(x－y)2－2(x－y)(y－z)＋(y－z)2＝[(x－y)－(y－z)]2故(x－y)－(y－z)＝0，x－2y＋z＝0.D题型一因式分解的意义【例1】下列各式从左到右的变形是因式分解的是()A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2B．a2＋2a－1＝a(a＋1)－1C．a2＋1＝aD．－a2＋b2＝(－a＋b)(a＋b)解析：－a2＋b2＝b2－a2＝(b＋a)(b－a)，平方差公式分解因式．题型分类深度剖析a＋1aD探究提高熟练地掌握因式分解的意义．因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形，若结果不是积的形式，则不是因式分解．知能迁移1下列多项式的分解因式，正确的是()A．8abx－12a2x2＝4abx(2－3ax)B．－6x3＋6x2－12x＝－6x(x2－x＋2)C．4x2－6xy＋2x＝2x(2x－3y)D．－3a2y＋9ay－6y＝－3y(a2＋3a－2)解析：－6x(x2－x＋2)＝－6x3＋6x2－12x，因式分解是恒等变形．B题型二提取公因式法分解因式【例2】(1)多项式6xy－2xy2＋4xyz中各项的公因式是．解析：6xy＝2xy·3；－2xy2＝2xy·(－y)；4xyz＝2xy·2z，各项的公因式是2xy.2xy(2)分解因式：①－4x3y2＋28x2y－2xy＝；②6a2(x－y)2－3a(y－x)3＝.解析：①－4x3y2＋28x2y－2xy＝－(4x3y2－28x2y＋2xy)＝－2xy(2x2y－14x＋1)．②6a2(x－y)2－3a(y－x)3＝6a2(x－y)2＋3a(x－y)3＝3a(x－y)2·[2a＋(x－y)]＝3a(x－y)2(2a＋x－y)．－2xy(2x2y－14x＋1)3a(x－y)2(2a＋x－y)探究提高1.当某项正好为公因式时，提取公因式后，该项应为1，不可漏掉.2.首项系数为负数时，一般公因式的系数取负数，使括号内首项系数为正.3.公因式也可以是多项式．知能迁移2(1)把多项式(m＋1)(m－1)＋(m－1)提公因式(m－1)后，余下的部分是()A．m＋1B．2mC．2D．m＋2解析：提取公因式后，前项余下m＋1，后项余下1，(m＋1)＋1＝m＋2.(2)分解因式：(x＋y)2－3(x＋y)．答案：(x＋y)2－3(x＋y)＝(x＋y)(x＋y－3)D题型三运用公式法分解因式【例3】(1)下列多项式中，能用公式法分解因式的是()A．x2－xyB．x2＋xyC．x2－y2D．x2＋y2解析：x2－y2＝(x＋y)(x－y)，符合平方差公式，选C.C(2)分解以下各多项式：①9x2－16y2解：原式＝(3x)2－(4y)2＝(3x＋4y)(3x－4y)．②(x－1)2－9解：原式＝(x－1＋3)(x－1－3)＝(x＋2)(x－4)．③16x4－72x2y2＋81y4解：原式＝(4x2－9y2)2＝[(2x＋3y)(2x－3y)]2＝(2x＋3y)2(2x－3y)2.探究提高1.用平方差公式分解因式，其关键是将多项式转化为a2－b2的形式，需注意对所给多项式要善于观察，并作适当变形，使之符合平方差公式的特点，公式中的“a”“b”也可以是多项式，可将这个多项式看作一个整体，分解后注意合并同类项.2.用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特征．知能迁移3分解因式：(1)4a2－1；解：原式＝4a2－1＝(2a＋1)(2a－1)(2)25(x＋y)2－9(x－y)2；解：原式＝[5(x＋y)＋3(x－y)][5(x＋y)－3(x－y)]＝(8x＋2y)(2x＋8y)＝4(4x＋y)(x＋4y)(3)a2＋a＋1解：原式＝2＋2××1＋12＝2(4)x3－6x2＋9x解：原式＝x(x2－6x＋9)＝x(x－3)21412a12a12a＋1题型四综合运用多种方法分解因式【例4】给出三个多项式：x2＋x－1；x2＋3x＋1；x2－x，请你选择其中两个进行加法运算，并把结果分解因式．解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解：(x2＋x－1)＋(x2＋3x＋1)＝x2＋4x＝x(x＋4)；(x2＋x－1)＋(x2－x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)；(x2＋3x＋1)＋(x2－x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2.121212121212121212探究提高1.具有一定的开放性．2.灵活运用多种方法分解因式，其一般顺序是：首先提取公因式，然后再考虑用公式，最后结果一定要分解到不能再分解为止．知能迁移4因式分解：(1)a5－a解：原式＝a(a4－1)＝a(a2＋1)(a2－1)＝a(a2＋1)(a＋1)(a－1)(2)(x＋2)(x＋4)＋x2－4解：原式＝x2＋6x＋8＋x2－4＝2x2＋6x＋4＝2(x2＋3x＋2)＝2(x＋1)(x＋2)或原式＝(x＋2)(x＋4)＋(x＋2)(x－2)＝(x＋2)[(x＋4)＋(x－2)]＝(x＋2)(2x＋2)＝2(x＋2)(x＋1)(3)(2011·芜湖)因式分解：x3－2x2y＋xy2＝；解析：原式＝x(x2－2xy＋y2)＝x(x－y)2(4)在实数范围内分解因式：x4－4.解：原式＝(x2＋2)(x2－2)＝(x2＋2)(x＋)(x－)．x(x－y)222题型五因式分解的应用【例5】(1)若a＋b＝4，则a2＋2ab＋b2的值是()A．8B．16C．2D．4解析：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2＝42＝16，选B.B(2)已知a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，求a＋b的值．解：∵a2＋b2＋6a－10b＋34＝0，∴a2＋6a＋9＋b2－10b＋25＝0，(a＋3)2＋(b－5)2＝0，∴a＋3＝0且b－5＝0，∴a＝－3，b＝5，∴a＋b＝－3＋5＝2.(3)如果多项式2x3＋x2－26x＋k有一个因式是2x＋1，求k的值．解：∵2x＋1是2x3＋x2－26x＋k的因式，∴可设2x3＋x2－26x＋k＝(2x＋1)·R，令2x＋1＝0，x＝－，得2×3＋2－26×＋k＝0，－＋＋13＋k＝0，k＝－13.12－12－12－121414探究提高1.利用因式分解，将多项式分解之后整体代入求值.2.一个问题有两个未知数，只有一个条件，考虑到已知式右边等于0，若将左边转化成两个完全平方式的和，而它们都是非负数，要使和为0，则每个完全平方式都等于0，从而使问题得以求解.3.逆向思维，推出多项式分解后的几个因式，采用系数求等的方法列方程组求解，或者利用恒等变形的性质，设2x＋1＝0，x＝－代入原式，可求得k.12知能迁移5(1)(2011·衡阳)若m－n＝2，m＋n＝5，则m2－n2的值为．解析：m2－n2＝(m＋n)(m－n)＝5×2＝10.(2)若△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，判断△ABC的形状．解：∵a＋2ab＝c＋2bc，∴a－c＋2ab－2bc＝0，(a－c)＋2b(a－c)＝0，(1＋2b)(a－c)＝0.∵1＋2b≠0，∴a－c＝0，a＝c，∴△ABC是等腰三角形．103.分解方法不熟练致误试题分解因式：(1)20m3n－15m2n2＋5m2n；(2)4x2－16y2；(3)m(a－b)＋n(b－a)；(4)－3x2＋18x－27.学生答案展示(1)20m3n－15m2n2＋5m2n＝5m2n(4m－3n)；(2)4x2－16y2＝(2x＋4y)(2x－4y)；(3)m(a－b)＋n(b－a)＝(a－b)(m＋n)；(4)－3x2＋18x－27＝－3(x2－6x＋9)．易错警示剖析学习因式分解，若对分解因式的方法不熟练，理解不透彻，可能会出现形形色色的错误．正解(1)20m3n－15m2n2＋5m2n＝5m2n(4m－3n＋1)；(2)4x2－16y2＝4(x＋2y)(x－2y)；(3)m(a－b)＋n(b－a)＝m(a－b)－n(a－b)＝(a－b)(m－n)；(4)－3x2＋18x－27＝－3(x2－6x＋9)＝－3(x－3)2.批阅笔记因式分解提公因式后，括号内的项一定要与原来的项数一样多，错解主要是对分配律理解不深或粗心大意造成的，提公因式还有符号方面的错误；分解因式时，应先观察是否有公因式可提，公因式包括系数，错解忽视提系数的最大公约数4；分解因式还要使分解后的每个因式都不能再分解.方法与技巧1.多项式的因式分解有许多方法，但对于一个具体的多项式，有许多方法是根本不适用的．因此，拿过一道题目，先试试这个方法，再试那个办法，对于迅速解出题目意义十分重大．2．先从大的方面着手，安排合理的思考程序，建议如下：(1)提取公因式；(2)看几项；(3)分