2013-2014学年高中数学(人教A版)选修2-2基础达标-1.3.2-函数的极值与导数-Word

1．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是()A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值解析：选D.x∈R，y′＝1－11＋x2·(1＋x2)′＝1－2x1＋x2＝x－121＋x2≥0，∴函数y＝x－ln(1＋x2)无极值．2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4D．5解析：选D.f′(－3)＝0⇒a＝5.3．(2013·高考浙江卷)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值解析：选C.当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，则f′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝exx－1，所以f′(1)＝e－1≠0，所以f(1)不是极值．当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，则f′(x)＝ex(x－1)2＋2(ex－1)(x－1)＝ex(x2－1)－2(x－1)＝(x－1)[ex(x＋1)－2]，所以f′(1)＝0，且当x＞1时，f′(x)＞0；在x＝1附近的左侧，f′(x)＜0，所以f(1)是极小值．4．函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是()A．(0,3)B．(0，32)C．(0，＋∞)D．(－∞，3)解析：选B.y′＝3x2－2a，要使函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，必有a＞0.令y′＝3x2－2a＝0，解得x＝±2a3.当x＜－2a3时，f′(x)＞0；当－2a3＜x＜2a3时，f′(x)＜0；当x＞2a3时，f′(x)＞0；这样当x＝2a3时，f(x)有极小值．令0＜2a3＜1，得0＜a＜32.选B.5．(2012·高考天津卷)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B.因为f′(x)＝2xln2＋3x2＞0，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在(0,1)上递增，且f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(1)＝2＋1－2＝1＞0，所以有1个零点．6．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时，有极值10，则a、b的值分别为________________．解析：f′(x)＝3x2－2ax－b.∵x＝1是函数f(x)的极值点，且在x＝1处的极值为10，∴f′(1)＝3－2a－b＝0，f(1)＝1－a－b＋a2＝10.∴a2＋a－12＝0，∴a＝－4或a＝3.若a＝－4，则b＝11；若a＝3，则b＝－3.答案：－4,11或3，－37．若函数f(x)＝x2＋ax＋1在x＝1处取得极值，则a＝__________.解析：f′(x)＝2xx＋1－x2＋ax＋12.f′(1)＝3－a4＝0⇒a＝3.答案：38．函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是________．解析：要使f′(x)＝3ax2＋1＝0有解，则x2＝－13a0，所以函数f(x)有极值的充要条件是a0.答案：a＜09．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值．解：f′(x)＝3ax2＋2bx－3，∴f′(1)＝f′(－1)＝0，即3a＋2b－3＝0，3a－2b－3＝0，解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x3－3x，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，∴f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，∴f(x)在(－1,1)上是减函数，∴f(－1)＝2是极大值，f(1)＝－2是极小值．10．设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．解：对f(x)求导得f′(x)＝ex1＋ax2－2ax1＋ax22.(1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下表：x－∞，121212，323232，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴x＝32是极小值点，x＝12是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合f′(x)与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，由此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，又a＞0，故0＜a≤1.