椭圆知识点复习

8．5椭圆考纲点击1.了解椭圆的实际背景.2.掌握椭圆的定义、标准方程、几何图形及简单性质.考点梳理一、椭圆的定义和方程1．椭圆的定义平面内到两定点F1、F2的距离的和等于①______(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的②______.定义中特别要注意条件2a＞2c，否则轨迹不是椭圆；当2a＝2c时，动点的轨迹是③______；当2a＜2c时，动点的轨迹④__________.2．椭圆的方程(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．(3)一般表示：Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0且A≠B)．二、椭圆的简单几何性质(a2＝b2＋c2)标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：⑤__________对称中心：⑥__________性质顶点A1⑦______，A2⑧______B1⑨______，B2⑩______A1⑪______，A2⑫______B1⑬______，B2⑭______轴长轴A1A2的长为⑮______短轴B1B2的长为⑯______焦距|F1F2|＝⑰______离心率e＝ca∈⑱______性质a，b，c的关系⑲__________答案：①常数②焦距③线段④不存在⑤x轴，y轴⑥坐标原点⑦(－a,0)⑧(a,0)⑨(0，－b)⑩(0，b)⑪(0，－a)⑫(0，a)⑬(－b,0)⑭(b,0)⑮2a⑯2b⑰2c⑱(0,1)⑲c2＝a2－b2考点自测1.椭圆x216＋y28＝1的离心率为()A.13B.12C.33D.22解析：由x216＋y28＝1可得a2＝16，b2＝8，∴c2＝a2－b2＝8，∴e2＝c2a2＝12，∴e＝22.答案：D2．已知椭圆x210－m＋y2m－2＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于()A．4B．5C．7D．8解析：因为椭圆x210－m＋y2m－2＝1的长轴在y轴上，所以m－2＞010－m＞0m－2＞10－m⇔6＜m＜10，又焦距为4，所以m－2－10＋m＝4⇔m＝8，选择D.答案：D3．设F1、F2分别是椭圆x225＋y216＝1的左、右焦点，P为椭圆上的一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点距离为()A．4B．3C．2D．5解析：由题意知|OM|＝12|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2×5－6＝4.答案：A4．设F1，F2分别为椭圆x23＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若F1A→＝5F2B→，则点A的坐标是________．解析：根据题意设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d)．F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)、(2，0)，可得F1A→＝(m＋2，n)，F2B→＝(c－2，d)．∵F1A→＝5F2B→，∴c＝m＋625，d＝n5.∵点A、B都在椭圆上，∴m23＋n2＝1，m＋62523＋(n5)2＝1.解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1)．答案：(0，±1)5．已知F1、F2为椭圆x225＋y29＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________________.解析：由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝10，|BF1|＋|BF2|＝10，两式相加得|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝20，即|AB|＋12＝20，∴|AB|＝8.答案：8疑点清源1.当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设为x2m＋y2n＝1(m＞0，n＞0)，可避免讨论和繁杂的计算，也可设为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0且A≠B)，这种形式在解题中较为方便．【注意】求动点的轨迹方程时，应首先挖掘图形的几何性质，看能否确定轨迹的类型，而不要起步就代入坐标，以免陷入繁琐的化简运算中．2．椭圆中有“两条线”(对称轴)，“六个点”(焦点，顶点)，要注意它们之间的位置关系和距离，焦点到相应顶点的距离为a－c.3．设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．4．椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．5．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.题型探究题型一椭圆定义的应用例1一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．解析：两定圆的圆心和半径分别是Q1(－3,0)，r1＝1；O2(3,0)，r2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件，可知|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R.∴|MO1|＋|MO2|＝10＞|O1O2|＝6.由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.点评：由椭圆的定义可知，在平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，可以将椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化，从而解决有关线段长度的问题．一般地，遇到与焦点距离有关的问题时，首先应考虑用定义来解题．变式探究1求过点A(2,0)且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．解析：将圆的方程化为标准形式(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图：设动圆圆心为M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6.又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6＞|AB|＝4.根据椭圆的定义知点M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点、线段AB的中点(0,0)为中心的椭圆．∴a＝3，c＝2，b＝a2－c2＝5.∴所求圆心的轨迹方程为x29＋y25＝1.题型二求椭圆的标准方程例2求下列椭圆的标准方程：(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)；(2)过点M(－2，3)和N(1,23)．解析：(1)若焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵椭圆过P(3,0)，∴32a2＋02b2＝1.又2a＝3×2b，∴a＝3，b＝1，方程为x29＋y2＝1.若焦点在y轴上，设方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．∵椭圆过点P(3,0)，∴02a2＋32b2＝1.又2a＝3×2b，∴a＝9，b＝3.∴方程为y281＋x29＝1.∴所求椭圆的方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.(2)由题设，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．∵M(－2，3)和N(1,23)在椭圆上，∴4m＋3n＝1，m＋12n＝1.解得m＝15，n＝115.∴所求椭圆方程为x25＋y215＝1.点评：运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先定型、再定理，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由题目所给条件求出m、n即可．变式探究2设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为42－4，求此椭圆的方程及离心率．解析：设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1或x2b2＋y2a2＝1(a＞b＞0)，则b＝c，a－c＝42－1，a2＝b2＋c2，解之得：a＝42，b＝4，c＝4.则所求椭圆的方程为x232＋y216＝1或x216＋y232＝1，离心率e＝22.题型三椭圆的几何性质例3已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB→∥OM→.(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围．解析：(1)∵F1(－c,0)，则xM＝－c，yM＝b2a，∴kOM＝－b2ac.∵kAB＝－ba，OM→∥AB→，∴－b2ac＝－ba，∴b＝c，故e＝ca＝22.(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，∴r1＋r2＝2a，|F1F2|＝2c，cosθ＝r21＋r22－4c22r1r2＝r1＋r22－2r1r2－4c22r1r2＝a2r1r2－1≥a2r1＋r222－1＝0，当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，∴θ∈0，π2.点评：求解与几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，建立基本量之间的联系．变式探究3已知椭圆的对称轴是坐标轴，以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形是正三角形，且焦点到椭圆的最短距离是3，求此椭圆方程，并写出其中焦点在y轴上的椭圆的焦点坐标、离心率．解析：由题设及椭圆定义知2a＝4c；且a－c＝3.∴c＝3，a＝23，b2＝a2－c2＝9.当焦点在x轴上时，所求的方程为x212＋y29＝1；当焦点在y轴上时，所求的方程为x29＋y212＝1.对后一个方程，离心率e＝ca＝12，焦点坐标为(0，±3).题型四直线与椭圆的位置关系例4若F1、F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P是该椭圆上的一个动点，且|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝23.(1)求出这个椭圆的方程；(2)是否存在过定点N(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，使OA→⊥OB→(其中O为坐标原点)？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，说明理由．解析：(1)依题意，得2a＝4,2c＝23，所以a＝2，c＝3，∴b＝a2－c2＝1.∴椭圆的方程为x24＋y2＝1.(2)显然当直线的斜率不存在，即x＝0时，不满足条件．设l的方程为y＝kx＋2，由A、B是直线l与椭圆的两个不同的交点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x24＋y2＝1，y＝kx＋2，消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0.∴Δ＝(16k)2－4(1＋4k2)×12＝16(4k2－3)＞0，得k2＞34.①x1＋x2＝－16k1＋4k2，x1x2＝121＋4k2，∵OA→⊥OB→，∴OA→·OB→＝0，∴OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝x1x2＋k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)·121＋4k2＋2k－16k1＋4k2＋4＝44－k21＋4k2＝0，∴k2＝4.②由①②可知k＝±2，所以，存在斜率k＝±2的直线l符合题意．点评：①直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来判断直线和椭圆相交、相切或相离．②消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这种设而不求，整体代入的方法是进一步解题的基础．变式探究4在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．(1)写出C的方程；(2)若OA→⊥OB→，求k的值．解析：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴为2的