三角形、梯形中位线定理练习题

《三角形、梯形中位线定理应用练习课》教学设计一、复习题组1．知识要点(1)如图1，三角形中位线性质定理的条件是，结论是；三角形中位线判定定理的条件是，结论是。（图1）(2)如图2，梯形中位线性质定理的条件是，结论是；梯形中位线判定定理的条件是，结论是。（图2）2．基本方法三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？(1)全等三角形对应边相等；(2)等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质；(3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；(4)角平分线上的点到角的两边距离相等；(5)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(6)直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；(7)平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质；(8)等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。ABCEDABCDFE系统小结，深刻理解二、基本题组1．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是；2．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是；3．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是；4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是；5．顺次连结正方形各边中点所得的四边形是；6．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是。7．顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是。8．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。9．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形；10．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形；11．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形12．已知D、E、F是△ABC各边的中点，则△DEF与△ABC的周长比为，面积比为。13．如图3，在△ABC中，D、E、F是AB的四等分点，D'、E'、F'是AC的四等分点，BC=28，则DD'=，EE'=，FF'=。14．如图4，在△ABC中，D、E是AB边的三等分点，D'、E'是AC边的三等分点，若BC=18，则DD'=，EE'=。15．如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F是AB的三等分点，EE'//FF'//BC，分别交CD于E'、F'。若BC=28，AD=10，则EE'=，FF'=。（图3）（图4）（图5）16．直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（）A．相等且平分B．相等且垂直C．垂直平分D．垂直平分且相等17．以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形AEDD'E'CBBCEAFDE'F'CBAEE'FDF'D'三、教练题组例1．已知：如图6，在梯形ABCD中，AB//CD，以AD、AC为边作□ACED，DC的延长线交EB于F。求证：EF=FB。〖注1〗本题先由学生讨论，拓宽证题思路，再补充、归纳；〖注2〗本题证法较多，关键是如何添加辅助线，主要方法如下。（图6）(1)延长EC，交AB于点G（如图7）；小结(2)延长EC，交BA的延长线于点G（如图8）；(3)连结AE，交CD于点G（如图9）；(4)过点E作EG⊥AB，分别交DF、AB于G、H（如图10）；(5)过点E作EG//CD，交AD的延长线于G（如图11）；构造梯形中位线(6)过点F作FG//AD，交AB于G（如图12）；(7)过点F作FG//AC，交AB于G（如图13）；(8)过点B作BG//AD，交CF的延长线于，连结EG（如图14）。构造平行四边形（图7）（图8）（图9）（图10）（图11）（图12）（图13）（图14）〖注〗重点研究图7、8、9、11的证法，其他图形的证法仅提一提，以培养学生的发散思维能力。例2．已知：如图15，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，延长AB到D，使BD=AB。求证：CD=2CE。证法一：取AC的中点F，连结BF（如图16）。证法二：过点B作BF//CE，交AC的延长线于F（如图17）。证法三：延长CE到F，使EF=CE，连结FA、FB（如图18）。（图15）（图16）（图17）（图18）构造三角形中位线构造全等三角形BAFEDCBAFEDCGBAFEDCGBAFEDCGBAFEDCGBAFEDCGBAFEDCGBAFEDCGBAFEDCGHABCDEABCDEFABCDEFABCDEF例3．已知：如图19，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，E是BC的中点。求证：AB=2DE分析：(1)要证AB=2DE，只需证等于AB一半的线段等于DE或等于DE的2倍的线段等于AB。(2)找等于AB一半的线段有三种方法：一是只取AB的中点，但这不利于问题的证明；（图19）二是构造以AB为斜边的直角三角形中线（因为条件中有垂直），再证此中线长等于DF；三是构造以AB为第三边某三角形的中位线，再证此中位线等于DE。证法一：取AB的中点F，连结DF、EF（如图20）。（以下证明略）证法二：取AC的中点F，连结DF、EF（如图21）。（以下证明略）（图20）（图21）例4．（选讲）已知：如图22，BM、CN是△ABC的角平分线，AE⊥BM于E，AF⊥CN于F。求证：EF//BC。分析：由“角相等”证“平行”很难实现。考虑条件中有“角平分线”（图22）和“垂直”，因而可采用“补形”的办法试证。证明：延长AF交BC于G，延长AE交BC于H。（以下略）思考：若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”（如图23），结论是否还成立？如何证明？（图23）四、巩固题组1．已知：如图24，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，AE的延长线交AC于F。求证：BE=3EF。（图24）2．已知：如图25，在菱形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥AC，交AB于G，交CB延长线于F。求证：GE=GF。（图25）3．（选做）已知：如图26，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交FE的延长线于M、N。求证：∠BMF=∠CNF。（图26）ABCDEABCDEFABCDEFABCEFMNABCPQEFNMABCDEFABDCEFGCBAFDEMN一、复习题组1．如图1，三角形中位线性质定理的条件是，结论是；三角形中位线判定定理的条件是，结论是。（图1）2．如图2，梯形中位线性质定理的条件是，结论是；梯形中位线判定定理的条件是，结论是。（图2）3．三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。此外，证明线段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？二、基础题组1．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是；2．顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是；3．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是；4．顺次连结菱形各边中点所得的四边形是；5．顺次连结正方形各边中点所得的四边形是。6．顺次连结梯形各边中点所得的四边形是；7．顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是；8．顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。9．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形；10．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形；11．顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。12．已知D、E、F是△ABC各边的中点，则△DEF与△ABC的周长比为，面积比为。13．如图3，在△ABC中，D、E、F是AB的四等分点，D'、E'、F'是AC的四等分点，BC=28，则DD'=，EE'=，FF'=；14．如图4，在△ABC中，D、E是AB边的三等分点，D'、E'是AC边的三等分点，若BC=18，则DD'=，EE'=；15．如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F是AB的三等分点，EE'//FF'//BC，分别交CD于E'、F'。若BC=28，AD=10，则EE'=，FF'=。（图3）（图4）（图5）ABCEDABCDFEAEDD'E'CBBCEAFDE'F'CBAEE'FDF'D'16．直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（）A．相等且平分B．相等且垂直C．垂直平分D．垂直平分且相等17．以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形三、例题题组例1．已知：如图，在梯形ABCD中，AB//CD，以AD、AC为边作□ACED，DC的延长线交EB于F。求证：EF=FB。例2．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，延长AB到D，使BD=AB。求证：CD=2CE。ABCDEBAFEDCBAFEDCBAFEDCABCDEABCDEBAFEDCBAFEDCBAFEDC例3．已知：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，E是BC的中点。求证：AB=2DE例4．（选讲）已知：如图，BM、CN是△ABC的角平分线，AE⊥BM于E，AF⊥CN于F。求证：EF//BC。思考：若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”（如图），结论是否还成立？如何证明？ABCDEABCPQEFNMABCDEABCDEABCEFMN四、巩固题组1．已知：如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，AE的延长线交AC于F。求证：BE=3EF。2．已知：如图，在菱形ABCD中，E是AD的中点，EF⊥AC，交AB于G，交CB延长线于F。求证：GE=GF。3．（选做）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是AD、BC的中点，延长BA、CD，分别交FE的延长线于M、N。求证：∠BMF=∠CNF。ABDCEFGABCDEFCBAFDEMN