2009年考研数学一试题及答案解析

2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x时，sinfxxax与2ln1gxxbx等价无穷小，则A11,6ab.B11,6ab.C11,6ab.D11,6ab.【答案】A【解析】2()sin,()ln(1)fxxaxgxxbx为等价无穷小，则222200000()sinsin1cossinlimlimlimlimlim()ln(1)()36xxxxxfxxaxxaxaaxaaxgxxbxxbxbxbx洛洛230sinlim166xaaxabbaxa36ab故排除,BC。另外201coslim3xaaxbx存在，蕴含了1cos0aax0x故1.a排除D。所以本题选A。（2）如图，正方形,1,1xyxy被其对角线划分为四个区域1,2,3,4kDk，coskkDIyxdxdy，则14maxkkIA1I.B2I.C3I.D4I.【答案】A【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。24,DD两区域关于x轴对称，而(,)cos(,)fxyyxfxy，即被积函数是关于y的奇函数，所以240II;13,DD两区域关于y轴对称，而(,)cos()cos(,)fxyyxyxfxy，即被积函数是-1-111xy1D2D3D4D关于x的偶函数，所以1(,),012cos0xyyxxIyxdxdy；3(,),012cos0xyyxxIyxdxdy.所以正确答案为A.（3）设函数yfx在区间1,3上的图形为：则函数0xFxftdt的图形为ABCD【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()yfx的图形可见，其图像与x轴及y轴、0xx所围的图形的代数面积为所求函数()Fx，从而可得出几个方面的特征：①0,1x时，()0Fx，且单调递减。②1,2x时，()Fx单调递增。③2,3x时，()Fx为常函数。④1,0x时，()0Fx为线性函数，单调递增。⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D。（4）设有两个数列,nnab，若lim0nna，则A当1nnb收敛时，1nnnab收敛.B当1nnb发散时，1nnnab发散.C当1nnb收敛时，221nnnab收敛.D当1nnb发散时，221nnnab发散.【答案】C【解析】方法一：举反例A取1(1)nnnabnB取1nnabnD取1nnabn故答案为（C）方法二：因为lim0,nna则由定义可知1,N使得1nN时，有1na又因为1nnb收敛，可得lim0,nnb则由定义可知2,N使得2nN时，有1nb从而，当12nNN时，有22nnnabb，则由正项级数的比较判别法可知221nnnab收敛。（5）设123,,是3维向量空间3R的一组基，则由基12311,,23到基122331,,的过渡矩阵为A101220033.B120023103.C111246111246111246.D111222111444111666.【答案】A【解析】因为1212,,,,,,nnA，则A称为基12,,,n到12,,,n的过渡矩阵。则由基12311,,23到122331,,的过渡矩阵M满足12233112311,,,,23M12310111,,22023033所以此题选A。（6）设,AB均为2阶矩阵，**,AB分别为,AB的伴随矩阵，若2,3AB，则分块矩阵OABO的伴随矩阵为A**32OBAO.B**23OBAO.C**32OABO.D**23OABO.【答案】B【解析】根据CCCE，若111,CCCCCC分块矩阵00AB的行列式22012360AABB（），即分块矩阵可逆11110000066000100BBAAABBBBAAA10023613002BBAA故答案为B。（7）设随机变量X的分布函数为10.30.72xFxx，其中x为标准正态分布函数，则EXA0.B0.3.C0.7.D1.【答案】C【解析】因为10.30.72xFxx，所以0.710.322xFxx，所以10.30.352xEXxFxdxxxdx10.30.352xxxdxxdx而0xxdx，11221222xxxdxuuudu所以00.3520.7EX。（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布0,1N，Y的概率分布为1012PYPY，记ZFz为随机变量ZXY的分布函数，则函数ZFz的间断点个数为A0.B1.C2.D3.【答案】B【解析】()()(0)(0)(1)(1)1[(0)(1)]21[(00)(1)]2ZFzPXYzPXYzYPYPXYzYPYPXYzYPXYzYPXzYPXzY,XY独立1()[(0)()]2ZFzPXzPXz（1）若0z，则1()()2ZFzz（2）当0z，则1()(1())2ZFzz0z为间断点，故选（B）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数,fuv具有二阶连续偏导数，,zfxxy，则2zxy。【答案】12222xffxyf【解析】12zffyx，21222212222zxffyxfxffxyfxy（10）若二阶常系数线性齐次微分方程0yayby的通解为12xyCCxe，则非齐次方程yaybyx满足条件02,00yy的解为y。【答案】2xyxex【解析】由常系数线性齐次微分方程0yayby的通解为12xyCCxe可知1xye，2xyxe为其线性无关解。代入齐次方程，有111222(1)010[2(1)]020xxyaybyabeabyaybyaabxea从而可见2,1ab。微分方程为''2'yyyx设特解*yAxB代入，',1yAA220,2AAxBxBB特解*2yx12()2xyccxex把(0)2y，'(0)0y代入，得120,1cc所求2xyxex（11）已知曲线2:02Lyxx，则Lxds。【答案】136【解析】由题意可知，2,,02xxyxx，则22214dsxydxxdx，所以222220011414148Lxdsxxdxxdx2320121314836x（12）设222,,1xyzxyz，则2zdxdydz。【答案】415【解析】方法一：212222000sincoszdxdydzddd2124000coscosddd30cos1423515d方法二：由轮换对称性可知2zdxdydz2xdxdydz2ydxdydz所以，212222400011sin33zdxdydzxyzdxdydzddrdr140002214sinsin33515drdrd（13）若3维列向量,满足2T，其中T为的转置，则矩阵T的非零特征值为。【答案】2【解析】2T2TT,T的非零特征值为2.(14)设12,,,mXXX为来自二项分布总体,Bnp的简单随机样本，X和2S分别为样本均值和样本方差。若2XkS为2np的无偏估计量，则k【答案】1【解析】2XkS为2np的无偏估计22()EXkXnp2(1)1(1)(1)11npknppnpkppkppk三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数22(,)2lnfxyxyyy的极值。【解析】2(,)2(2)0xfxyxy2(,)2ln10yfxyxyy故10,xye2212(2),2,4xxyyxyfyfxfxyy则12(0,)1(0,)1(0,)12(2)0xxexyeyyefeffe0xxf而2()0xyxxyyfff二元函数存在极小值11(0,)fee（16）（本题满分9分）设na为曲线nyx与11,2,.....nyxn所围成区域的面积，记122111,nnnnSaSa，求1S与2S的值。【解析】由题意，nyx与n+1y=x在点0x和1x处相交，所以112111111a()()001212nnnnnxxdxxxnnnn，从而1111111111Slimlim(-)lim()23122+22NnnNNNnnaaNNN2211111111111111=)22+1232N2N+123456nnnSann（）（由2(1)1(1)2nnxxnln(1+x)=x-取1x得22111ln(2)1()11ln2234SS（17）（本题满分11分）椭球面1S是椭圆22143xy绕x轴旋转而成，圆锥面2S是过点4,0且与椭圆22143xy相切的直线绕x轴旋转而成。（Ⅰ）求1S及2S的方程（Ⅱ）求1S与2S之间的立体体积。【解析】（I）1S的方程为222143xyz，过点4,0与22143xy的切线为122yx，所以2S的方程为222122yzx。（II）记1122yx，由22143xy，记22314xy，则424222221211111324344Vydxydxxxdxxdx42323111143124xxxxx