§10.1.2-分步计数原理

§10.1计数原理2.分步计数原理分类计数原理做一件事情，完成它有n类办法.在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，无论通过哪类办法都能完成这件事情，则完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.分类计数原理的关键词“分类”；各类办法是互相独立、互相排斥的；每类办法都能完成这件事情．问题(1)：本题中要完成一件什么事？问题(2)：由A地去C地有个步骤，第一步：由A地到B地，有种不同的走法；第二步：由B地到C地，有种不同的走法．问题(3)：完成这件事有多少种不同的方法？由A地去C地，中间必须经过B地，且已知由A地到B地有3条路可走，再由B地到C地有2条路可走，那么由A地经B到C地有多少种不同的走法？CBAa1a2a3b1b2a1a2a3b1b2分步计数原理第1步第2步第n步N=m1×m2×…×mn有n个步骤共有多少种不同的方法(乘法原理)……完成一件事有m1种不同的方法有m2种不同的方法有mn种不同的方法做一件事情，完成它需要分n个步骤.做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，必须经过每一个步骤才能完成这件事情，则完成这件事共有N=m1·m2·…·mn种不同的方法.分步计数原理的关键词“分步”；各步过程是互相关联的，缺一不可的；必须经过每一个步骤才能完成这件事情．分步计数原理(乘法原理)1.书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的语文书18本，下层有不同的英语书7本.现从中取出数学、语文、英语书各一本，问有多少种不同的取法？有三个步骤N=15×18×7=1890第1步从上层15本数学书任取一本,有15种取法；第2步从中层18本语文书任取一本,有18种取法；第3步从下层7本英语书任取一本,有7种取法.各取一本书共有多少种不同的取法1.书架上层有不同的数学书15本，中层有不同的语文书18本，下层有不同的英语书7本.现从中取出数学、语文、英语书各一本，问有多少种不同的取法？解：从书架的上、中、下各取1本书，可分为3个步骤．第1步，从上层15本数学书任取一本，有15种取法；第2步，从中层18本语文书任取一本，有18种取法；第3步，从下层7本英语书任取一本，有7种取法.以上3步依次完成，才能完成任务.根据分步计数原理，共有15×18×7=1890种不同取法.由数字1，2，3，4，5可以组成多少个3位数？(各位上的数字可以重复)？解：某校综高部教学楼有5层，每层有3个楼梯，从一楼到五楼有多少种不同的走法？2．在下面图中使电路接通的不同方法各有多少种？由于两个开关组串联，要使电路接通，需要两个步骤，第1步，A开关组接通，有2种方法，以上2步依次完成才可以接通电路，所以使电路接通的方法共有2×3=6种．根据分步计数原理，BA第2步，B开关组接通，有3种方法，3．某农场要在4种不同类型的土地上，试验种植A，B，C，D这4种不同品种的小麦，要求每种土地上试种一种小麦，问有多少种不同的试验方案？依据分步计数原理，共有4×3×2×1＝24种不同的试验方案.第3步，考虑C种小麦，可在剩下的2种不同类型的土地中任选1种，有2种选法；第2步，考虑B种小麦，可在剩下的3种不同类型的土地中任选1种，有3种选法；第4步，最后考虑D种小麦，只剩下1种类型的土地，因此只有1种选法.第1步，先考虑A种小麦，可在4种不同类型的土地中任选1种，有4种选法；解：在4种不同类型的土地上，试验种植A，B，C，D4种不同品种的小麦，可分为4个步骤．以上4步依次完成，才能完成一个方案.8张卡片上写着0,1,2,…,7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？做什么？要分步才能完成吗？4．要从甲、乙、丙三名工人中选出两名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？解：从甲、乙、丙三名工人中选出两名分别上日班和晚班，可分为2个步骤．第1步，选一名上日班的工人，有3种选法；第2步，选一名上夜班的工人，有2种选法.以上2步依次完成，才能完成任务.根据分步计数原理，共有3×2=6种不同选法.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？5．甲班有三好学生8人，乙班有三好学生6人，丙班有三好学生9人：（1）由这三个班中任选1名三好学生，出席三好学生表彰会，有多少种不同的选法？（2）由这三个班中各选1名三好学生，出席三好学生表彰会，有多少种不同的选法？解：简略答案：(1)依分类计数原理，不同的选法种数是N＝8＋6＋9＝23；(2)依分步计数原理，不同的选法种数是N＝8×6×9＝432．分类计数原理分步计数原理完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”区别1完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”区别2特点每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。类类独立步步关联两个原理的比较不重不漏步骤完整注意点如图，从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通.从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地今天你学了哪些知识？哪些你认为值得注意？